I.1. Les définitions de base
13
I.1.9 Remarques sur le cas quasi-déployé et à torsion intérieure
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. L’ensemble Z( ˜
G, E) attaché à une paire de Borel épinglée E est en fait indépendant de E : c’est l’ensemble
des e ∈ ˜
G tels que ad e soit l’identité. L’ensemble Z( ˜
G) s’identifie donc à ce même
ensemble.
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a).
Lemme. Supposons ˜
G
(F ) = ∅. Alors l’ensemble des éléments ˜
G-fortement réguliers de ˜
G
(F ) n’est pas vide et, pour tout élément δ de cet ensemble, il existe
γ ∈ ˜
G reg (F ) tel que (δ, γ) ∈ D(G
). A fortiori, G
est relevant.
Preuve. Puisque ˜
G
(F ) n’est pas vide, le sous-ensemble ˜
G
ss (F ) ne l’est pas non
plus : la partie semi-simple d’un élément de ˜
G
(F ) appartient à cet ensemble. Soit
∈ ˜
G
ss (F ). Fixons un tore maximal T
de G
défini sur F . Pour t
∈ T
(F ) en
position générale, t
est ˜
G-fortement régulier. D’où la première assertion. Fixons
maintenant un élément δ ∈ ˜
G
(F ) qui soit ˜
G-fortement régulier. Fixons une paire
de Borel (B
, T
) de G
qui soit conservée par ad δ . On a T
= G
δ , donc T
est défini
sur F . Soit (B
∗ , T
∗ ) une paire de Borel de G définie sur F . Des deux paires de Borel
se déduit un isomorphisme ξ T ∗ ,T : T
∗
→ T
. Il existe un cocycle ω T : Γ F → W
tel que ξ ◦ ω T (σ) ◦ σ = σ ◦ ξ pour tout σ ∈ Γ F . Puisque G est quasi-déployé, on
peut appliquer le corollaire 2.2 de [44] : il existe g ∈ G( ¯
F ) tel que ad g −1 (T
∗ ) soit
défini sur F et que, pour tout σ ∈ Γ F , on ait l’égalité suivante sur T : ω T (σ) ◦
σ ◦ ad g = ad g ◦σ. Posons (B, T ) = ad g −1 (B
∗ , T
∗ ). De (B, T ) et (B
, T
) se déduit
un isomorphisme ξ T,T : T → T
qui est maintenant équivariant pour les actions
galoisiennes. On vérifie que ξ T,T s’étend en un isomorphisme ˜
ξ T,T : T × Z(G)
Z( ˜
G) → T
× Z(G ) Z( ˜
G
) qui est encore équivariant pour les actions galoisiennes.
L’élément δ appartient à l’ensemble d’arrivée. Soit γ son image réciproque par
˜
ξ T,T . Puisque ˜
ξ T,T est équivariant pour les actions galoisiennes, γ appartient à
˜
G(F ) et il est clair que (δ, γ) appartient à D(G
).
I.1.10 Correspondance entre éléments semi-simples
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique pour (G, ˜
G, a). Appelons diagramme un sextuplet (, B
, T
, B, T, η) vérifiant les conditions (1) à (6) suivantes :
(1) ∈ ˜
G
ss (F ) et η ∈ ˜
G ss (F ) ;
(2) (B
, T
) est une paire de Borel de G
et (B, T ) est une paire de Borel de G ;
(3) ad conserve (B
, T
) et ad η conserve (B, T ) ;
(4) T et T
sont définis sur F .
A l’aide de (B
, T
), resp. (B, T ), on identifie T
à T
∗ et T à T
∗ . L’homomorphisme ξ se transforme en un homomorphisme ξ T,T : T → T
.
(5) L’homomorphisme ξ T,T est défini sur F .
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I.1.9 Remarques sur le cas quasi-déployé et à torsion intérieure
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. L’ensemble Z( ˜
G, E) attaché à une paire de Borel épinglée E est en fait indépendant de E : c’est l’ensemble
des e ∈ ˜
G tels que ad e soit l’identité. L’ensemble Z( ˜
G) s’identifie donc à ce même
ensemble.
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a).
Lemme. Supposons ˜
G
(F ) = ∅. Alors l’ensemble des éléments ˜
G-fortement réguliers de ˜
G
(F ) n’est pas vide et, pour tout élément δ de cet ensemble, il existe
γ ∈ ˜
G reg (F ) tel que (δ, γ) ∈ D(G
). A fortiori, G
est relevant.
Preuve. Puisque ˜
G
(F ) n’est pas vide, le sous-ensemble ˜
G
ss (F ) ne l’est pas non
plus : la partie semi-simple d’un élément de ˜
G
(F ) appartient à cet ensemble. Soit
∈ ˜
G
ss (F ). Fixons un tore maximal T
de G
défini sur F . Pour t
∈ T
(F ) en
position générale, t
est ˜
G-fortement régulier. D’où la première assertion. Fixons
maintenant un élément δ ∈ ˜
G
(F ) qui soit ˜
G-fortement régulier. Fixons une paire
de Borel (B
, T
) de G
qui soit conservée par ad δ . On a T
= G
δ , donc T
est défini
sur F . Soit (B
∗ , T
∗ ) une paire de Borel de G définie sur F . Des deux paires de Borel
se déduit un isomorphisme ξ T ∗ ,T : T
∗
→ T
. Il existe un cocycle ω T : Γ F → W
tel que ξ ◦ ω T (σ) ◦ σ = σ ◦ ξ pour tout σ ∈ Γ F . Puisque G est quasi-déployé, on
peut appliquer le corollaire 2.2 de [44] : il existe g ∈ G( ¯
F ) tel que ad g −1 (T
∗ ) soit
défini sur F et que, pour tout σ ∈ Γ F , on ait l’égalité suivante sur T : ω T (σ) ◦
σ ◦ ad g = ad g ◦σ. Posons (B, T ) = ad g −1 (B
∗ , T
∗ ). De (B, T ) et (B
, T
) se déduit
un isomorphisme ξ T,T : T → T
qui est maintenant équivariant pour les actions
galoisiennes. On vérifie que ξ T,T s’étend en un isomorphisme ˜
ξ T,T : T × Z(G)
Z( ˜
G) → T
× Z(G ) Z( ˜
G
) qui est encore équivariant pour les actions galoisiennes.
L’élément δ appartient à l’ensemble d’arrivée. Soit γ son image réciproque par
˜
ξ T,T . Puisque ˜
ξ T,T est équivariant pour les actions galoisiennes, γ appartient à
˜
G(F ) et il est clair que (δ, γ) appartient à D(G
).
I.1.10 Correspondance entre éléments semi-simples
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique pour (G, ˜
G, a). Appelons diagramme un sextuplet (, B
, T
, B, T, η) vérifiant les conditions (1) à (6) suivantes :
(1) ∈ ˜
G
ss (F ) et η ∈ ˜
G ss (F ) ;
(2) (B
, T
) est une paire de Borel de G
et (B, T ) est une paire de Borel de G ;
(3) ad conserve (B
, T
) et ad η conserve (B, T ) ;
(4) T et T
sont définis sur F .
A l’aide de (B
, T
), resp. (B, T ), on identifie T
à T
∗ et T à T
∗ . L’homomorphisme ξ se transforme en un homomorphisme ξ T,T : T → T
.
(5) L’homomorphisme ξ T,T est défini sur F .