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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Posons E
= ad n (E). Alors e appartient à Z( ˜
G, E
) et on peut changer E en E
tout
en conservant la décomposition γ = te. Parce que e est fixe par ad n , son image
dans Z( ˜
G) est la même, que la paire de référence soit E ou E
. Les identifications
de T à T
∗ relatives aux deux paires E et E
diffèrent par l’action d’un élément
de W
θ
∗ , donc les applications composées T → (T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ))/W
θ
∗ sont les
mêmes et ¯
t ne change pas quand on remplace E par E
. Donc ¯
γ ne change pas non
plus. Remplaçons maintenant (B, T ) par une paire quelconque (B
, T
). D’après
la preuve de 1.3(2), il existe g ∈ G γ tel que ad g (T ) = T
. L’étape précédente nous
permet de changer B de sorte que l’on ait aussi ad g (B) = B
. On choisit alors
E
= ad g (E) et pour décomposition γ = t
e
, avec t
= ad g (t) et e
= ad g (e). Les
diverses applications relatives à E
sont les composées des applications relatives
à E avec ad
−1
g . Donc ¯
γ ne change pas. Cela prouve la première assertion. La
deuxième est facile. Soit σ ∈ Γ F . On utilise une paire E pour calculer ¯
γ et la paire
σ(E) pour calculer σ(γ). D’une décomposition γ = te se déduit la décomposition
σ(γ) = σ(t)σ(e). On a σ(t) = σ G ∗ ( ¯
t) et σ(e) = σ G ∗ (¯ e) par définition des actions
galoisiennes sur T
∗ et Z( ˜
G). Donc σ(γ) est bien l’image de ¯
γ par l’action σ G ∗ .
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique pour (G, ˜
G, a). Les classes de
conjugaison semi-simples dans ˜
G
sont de même paramétrées par
(T
∗ /W
G
) × Z(G ) Z( ˜
G
).
On a Z(G
) = Z(G
) et, par construction, Z( ˜
G
) = Z(G
) × Z(G) Z( ˜
G). Donc
(T
∗ /W
G
) × Z(G ) Z( ˜
G
) = (T
∗ /W
G
) × Z(G) Z( ˜
G).
En utilisant l’isomorphisme T
T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ) par lequel W
G
s’identifie à un
sous-groupe de W
θ
∗ , on obtient une surjection
(T
∗ /W
G
) × Z(G) Z( ˜
G) → ((T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ))/W
θ
∗ ) × Z(G) Z( ˜
G),
c’est-à-dire une surjection de l’ensemble des classes de conjugaison semi-simples
dans ˜
G
sur l’ensemble des classes de conjugaison semi-simples dans ˜
G. Cette
application est définie sur F .
Remarque. Restreinte aux éléments invariants par Γ F , l’application n’est plus
surjective en général. D’autre part, une classe de conjugaison semi-simple dans ˜
G
peut être définie sur F sans contenir d’élément de ˜
G(F ).
On dit qu’un élément de ˜
G
ss est ˜
G-fortement régulier si et seulement si l’image
de sa classe de conjugaison par l’application ci-dessus est une classe de conjugaison
dans ˜
G formée d’éléments fortement réguliers.
On note D(G
) l’ensemble des couples (δ, γ) ∈ ˜
G
(F ) × ˜
G(F ) formés d’éléments semi-simples dont les classes de conjugaison (sur ¯
F ) se correspondent et tels
que γ est fortement régulier dans ˜
G. On dit que G
est «relevant» si D(G
) n’est
pas vide.
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Posons E
= ad n (E). Alors e appartient à Z( ˜
G, E
) et on peut changer E en E
tout
en conservant la décomposition γ = te. Parce que e est fixe par ad n , son image
dans Z( ˜
G) est la même, que la paire de référence soit E ou E
. Les identifications
de T à T
∗ relatives aux deux paires E et E
diffèrent par l’action d’un élément
de W
θ
∗ , donc les applications composées T → (T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ))/W
θ
∗ sont les
mêmes et ¯
t ne change pas quand on remplace E par E
. Donc ¯
γ ne change pas non
plus. Remplaçons maintenant (B, T ) par une paire quelconque (B
, T
). D’après
la preuve de 1.3(2), il existe g ∈ G γ tel que ad g (T ) = T
. L’étape précédente nous
permet de changer B de sorte que l’on ait aussi ad g (B) = B
. On choisit alors
E
= ad g (E) et pour décomposition γ = t
e
, avec t
= ad g (t) et e
= ad g (e). Les
diverses applications relatives à E
sont les composées des applications relatives
à E avec ad
−1
g . Donc ¯
γ ne change pas. Cela prouve la première assertion. La
deuxième est facile. Soit σ ∈ Γ F . On utilise une paire E pour calculer ¯
γ et la paire
σ(E) pour calculer σ(γ). D’une décomposition γ = te se déduit la décomposition
σ(γ) = σ(t)σ(e). On a σ(t) = σ G ∗ ( ¯
t) et σ(e) = σ G ∗ (¯ e) par définition des actions
galoisiennes sur T
∗ et Z( ˜
G). Donc σ(γ) est bien l’image de ¯
γ par l’action σ G ∗ .
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique pour (G, ˜
G, a). Les classes de
conjugaison semi-simples dans ˜
G
sont de même paramétrées par
(T
∗ /W
G
) × Z(G ) Z( ˜
G
).
On a Z(G
) = Z(G
) et, par construction, Z( ˜
G
) = Z(G
) × Z(G) Z( ˜
G). Donc
(T
∗ /W
G
) × Z(G ) Z( ˜
G
) = (T
∗ /W
G
) × Z(G) Z( ˜
G).
En utilisant l’isomorphisme T
T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ) par lequel W
G
s’identifie à un
sous-groupe de W
θ
∗ , on obtient une surjection
(T
∗ /W
G
) × Z(G) Z( ˜
G) → ((T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ))/W
θ
∗ ) × Z(G) Z( ˜
G),
c’est-à-dire une surjection de l’ensemble des classes de conjugaison semi-simples
dans ˜
G
sur l’ensemble des classes de conjugaison semi-simples dans ˜
G. Cette
application est définie sur F .
Remarque. Restreinte aux éléments invariants par Γ F , l’application n’est plus
surjective en général. D’autre part, une classe de conjugaison semi-simple dans ˜
G
peut être définie sur F sans contenir d’élément de ˜
G(F ).
On dit qu’un élément de ˜
G
ss est ˜
G-fortement régulier si et seulement si l’image
de sa classe de conjugaison par l’application ci-dessus est une classe de conjugaison
dans ˜
G formée d’éléments fortement réguliers.
On note D(G
) l’ensemble des couples (δ, γ) ∈ ˜
G
(F ) × ˜
G(F ) formés d’éléments semi-simples dont les classes de conjugaison (sur ¯
F ) se correspondent et tels
que γ est fortement régulier dans ˜
G. On dit que G
est «relevant» si D(G
) n’est
pas vide.