I.1. Les définitions de base
11
La restriction de ξ à Z(G) se quotiente évidemment en un homomorphisme
ξ Z : Z(G) → Z(G
). On vérifie que celui-ci est équivariant pour les actions galoisiennes. On pose ˜
G
= G
× Z(G) Z( ˜
G), c’est-à-dire le quotient de G
× Z( ˜
G) par la
relation d’équivalence (g
ξ Z (z), ˜
z) ≡ (g
, z˜ z) pour z ∈ Z(G). Les actions à droite
et à gauche de G
sur G
× Z( ˜
G) se descendent en des actions à droite et à gauche
sur ˜
G
. L’action galoisienne sur G
× Z( ˜
G) se descend aussi en une action sur ˜
G
.
On voit que ˜
G
est un espace tordu sur G
, défini sur F .
Remarques.
(2) L’ensemble ˜
G
(F ) peut être vide. Par exemple, soient d ∈ F
× , G = SL(2),
˜
G = {γ ∈ GL(2); det(γ) = d} et a = 1. Pour toute extension quadratique E
de F , il y a une donnée endoscopique G
telle que G
(F ) est le groupe des
éléments de E de norme 1. Alors ˜
G
(F ) est l’ensemble des éléments de E de
norme d. On peut choisir d et E de sorte que cet ensemble soit vide.
(3) ˜
G
est à torsion intérieure.
Cas particulier. On dira que (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure si
G est quasi-déployé sur F , ˜
G est à torsion intérieure et a = 1. Dans ce cas, on a
ˆ
θ = 1 et la donnée G = (G,
L G, ˜
s = 1) est une donnée endoscopique «maximale».
L’espace endoscopique que l’on en déduit est bien sûr l’espace ˜
G lui-même. Remarquons que, pour toute donnée endoscopique G
= (G
, G
, ˜
s), le couple (G
, ˜
G
)
complété par le cocycle trivial est quasi-déployé et à torsion intérieure.
I.1.8 Correspondance entre classes de conjugaison semi-simples
Soit γ ∈ ˜
G ss . Par définition des éléments semi-simples, on peut fixer une paire de
Borel (B, T ) de G qui est conservée par ad γ . On la complète en une paire de Borel
épinglée E. On identifie cette paire à E
∗ . D’après 1.3(1), on peut écrire γ = te, avec
t ∈ T et e ∈ Z( ˜
G, E). Soit ¯
t l’image de t dans (T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ))/W
θ
∗ , ¯
e l’image
de e dans Z( ˜
G) et ¯
γ l’image de ( ¯
t, ¯
e) dans ((T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ))/W
θ ) × Z(G) Z( ˜
G).
Montrons que :
(1) l’élément ¯
γ ne dépend pas des choix ; l’application γ → ¯
γ se quotiente en une
bijection de l’ensemble des classes de conjugaison semi-simples dans ˜
G sur
((T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ))/W
θ
∗ ) × Z(G) Z( ˜
G) ; cette bijection est définie sur F .
Preuve. Pour E fixée, on peut remplacer (t, e) par (tz, z
−1 e), avec z ∈ Z(G). Cela
remplace ( ¯
t, ¯
e) par ( ¯
t¯ z, ¯
z
−1 ¯
e), où ¯
z est l’image de z dans Z(G), et cela ne change
pas ¯
γ. Laissons fixée (B, T ), mais changeons d’épinglage. La nouvelle paire de
Borel épinglée E
se déduit de E par ad y pour un y ∈ T . Posons e
= ad y (e). On
a e
∈ Z( ˜
G, E
) et e
= (1 − θ)(y)e où θ est la restriction à T de ad e ou ad e .
On peut écrire γ = t
e
avec t
= (θ − 1)(y)t. On voit que ¯
t
= ¯
t et ¯
e
= ¯
e. Donc
¯
γ ne change pas. Remplaçons (B, T ) par une autre paire (B
, T ) de même tore.
Comme on l’a vu dans la preuve de 1.3(2), la paire (B
, T ) se déduit de (B, T ) par
l’action d’un élément de W
θ , que l’on peut représenter par un élément n ∈ G e .
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La restriction de ξ à Z(G) se quotiente évidemment en un homomorphisme
ξ Z : Z(G) → Z(G
). On vérifie que celui-ci est équivariant pour les actions galoisiennes. On pose ˜
G
= G
× Z(G) Z( ˜
G), c’est-à-dire le quotient de G
× Z( ˜
G) par la
relation d’équivalence (g
ξ Z (z), ˜
z) ≡ (g
, z˜ z) pour z ∈ Z(G). Les actions à droite
et à gauche de G
sur G
× Z( ˜
G) se descendent en des actions à droite et à gauche
sur ˜
G
. L’action galoisienne sur G
× Z( ˜
G) se descend aussi en une action sur ˜
G
.
On voit que ˜
G
est un espace tordu sur G
, défini sur F .
Remarques.
(2) L’ensemble ˜
G
(F ) peut être vide. Par exemple, soient d ∈ F
× , G = SL(2),
˜
G = {γ ∈ GL(2); det(γ) = d} et a = 1. Pour toute extension quadratique E
de F , il y a une donnée endoscopique G
telle que G
(F ) est le groupe des
éléments de E de norme 1. Alors ˜
G
(F ) est l’ensemble des éléments de E de
norme d. On peut choisir d et E de sorte que cet ensemble soit vide.
(3) ˜
G
est à torsion intérieure.
Cas particulier. On dira que (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure si
G est quasi-déployé sur F , ˜
G est à torsion intérieure et a = 1. Dans ce cas, on a
ˆ
θ = 1 et la donnée G = (G,
L G, ˜
s = 1) est une donnée endoscopique «maximale».
L’espace endoscopique que l’on en déduit est bien sûr l’espace ˜
G lui-même. Remarquons que, pour toute donnée endoscopique G
= (G
, G
, ˜
s), le couple (G
, ˜
G
)
complété par le cocycle trivial est quasi-déployé et à torsion intérieure.
I.1.8 Correspondance entre classes de conjugaison semi-simples
Soit γ ∈ ˜
G ss . Par définition des éléments semi-simples, on peut fixer une paire de
Borel (B, T ) de G qui est conservée par ad γ . On la complète en une paire de Borel
épinglée E. On identifie cette paire à E
∗ . D’après 1.3(1), on peut écrire γ = te, avec
t ∈ T et e ∈ Z( ˜
G, E). Soit ¯
t l’image de t dans (T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ))/W
θ
∗ , ¯
e l’image
de e dans Z( ˜
G) et ¯
γ l’image de ( ¯
t, ¯
e) dans ((T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ))/W
θ ) × Z(G) Z( ˜
G).
Montrons que :
(1) l’élément ¯
γ ne dépend pas des choix ; l’application γ → ¯
γ se quotiente en une
bijection de l’ensemble des classes de conjugaison semi-simples dans ˜
G sur
((T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ))/W
θ
∗ ) × Z(G) Z( ˜
G) ; cette bijection est définie sur F .
Preuve. Pour E fixée, on peut remplacer (t, e) par (tz, z
−1 e), avec z ∈ Z(G). Cela
remplace ( ¯
t, ¯
e) par ( ¯
t¯ z, ¯
z
−1 ¯
e), où ¯
z est l’image de z dans Z(G), et cela ne change
pas ¯
γ. Laissons fixée (B, T ), mais changeons d’épinglage. La nouvelle paire de
Borel épinglée E
se déduit de E par ad y pour un y ∈ T . Posons e
= ad y (e). On
a e
∈ Z( ˜
G, E
) et e
= (1 − θ)(y)e où θ est la restriction à T de ad e ou ad e .
On peut écrire γ = t
e
avec t
= (θ − 1)(y)t. On voit que ¯
t
= ¯
t et ¯
e
= ¯
e. Donc
¯
γ ne change pas. Remplaçons (B, T ) par une autre paire (B
, T ) de même tore.
Comme on l’a vu dans la preuve de 1.3(2), la paire (B
, T ) se déduit de (B, T ) par
l’action d’un élément de W
θ , que l’on peut représenter par un élément n ∈ G e .