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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Les constructions ci-dessus dépendent du choix de la paire ˆ
E. La plupart du
temps, pour une donnée endoscopique G
fixée, on supposera choisie une telle paire
et on utilisera ces constructions sans plus de commentaires.
I.1.6 Systèmes de racines
Notons Σ(T
∗ ) l’ensemble des racines de T
∗ dans l’algèbre de Lie de G, Σ( ˆ
T ) celui
des racines de ˆ
T dans l’algèbre de Lie de ˆ
G et ˇ
Σ(T
∗ ), ˇ
Σ( ˆ
T ) les ensembles de
coracines. Par les isomorphismes X ∗ (T
∗ ) X
∗ ( ˆ
T ), X
∗ (T
∗ ) X ∗ ( ˆ
T ), l’ensemble
Σ(T
∗ ) s’identifie à ˇ
Σ( ˆ
T ) et ˇ
Σ(T
∗ ) s’identifie à Σ( ˆ
T ). On note α → ˆ
α la bijection
de Σ(T
∗ ) sur Σ( ˆ
T ) telle que, par les identifications précédentes, ˆ
α s’identifie à
la coracine ˇ
α. Pour α ∈ Σ(T
∗ ), on note N α la somme des éléments de l’orbite
de α sous l’action du groupe d’automorphismes engendré par θ
∗ . On note α res la
restriction de α à T
∗,θ
∗ ,0 . On pose Σ(T
∗ ) res = {α res ; α ∈ Σ(T
∗ )}. De même, pour
α ∈ Σ( ˆ
T ), on note N α la somme des éléments de l’orbite de α sous l’action du
groupe d’automorphismes engendré par ˆ
θ. On note α res la restriction de α à ˆ
T
ˆ
θ,0 .
On pose Σ( ˆ
T ) res = {α res ; α ∈ Σ( ˆ
T )}. Les ensembles Σ(T
∗ ) res et Σ( ˆ
T ) res sont des
systèmes de racines non réduits en général. On dit que α ∈ Σ(T
∗ ) est de type 1 si
ni α res /2, ni 2α res n’appartiennent à Σ(T
∗ ) res , de type 2 si 2α res ∈ Σ(T
∗ ) res et de
type 3 si α res /2 ∈ Σ(T
∗ ) res . On définit de même le type d’une racine α ∈ Σ( ˆ
T ).
Pour α ∈ Σ(T
∗ ), l’élément ˆ
α ∈ Σ( ˆ
T ) est de même type que α.
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique pour (G, ˜
G, a). L’ensemble
Σ( ˆ
T
) des racines de ˆ
T
dans l’algèbre de Lie de ˆ
G
est formé des α res pour α ∈ Σ( ˆ
T )
telles que
N α(s) =
1, si α est de type 1 ou 2
−1, si α est de type 3.
(on rappelle que ˜
s = s ˆ
θ). Par composition avec l’homomorphisme ξ, l’ensemble
Σ(T
∗ ) des racines de T
∗ dans l’algèbre de Lie de G
s’identifie à un ensemble de
caractères de T
∗ . D’après [48] 1.3.9, c’est l’ensemble suivant :
{N α; α ∈ Σ(T
∗ ) de type 1 , N ˆ
α(s) = 1}
∪ {2N α; α ∈ Σ(T
∗ ) de type 2 , N ˆ
α(s) = 1}
∪ {N α; α ∈ Σ(T
∗ ) de type 3 , N ˆ
α(s) = −1}.
I.1.7 Espace endoscopique tordu
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique. On a
(1) ξ(Z(G)) ⊂ Z(G
).
Preuve. Pour z ∈ Z(G), on a α(z) = 1 pour tout α ∈ Σ(T
∗ ). A fortiori N α(z) = 1.
Pour toute racine α
∈ Σ(T
∗ ), il existe α ∈ Σ(T
∗ ) telle que α
◦ ξ = N α ou 2N α.
Donc α
(ξ(z)) = 1 pour tout α
∈ Σ(T
∗ ) et cela équivaut à ξ(z) ∈ Z(G
).