I.1. Les définitions de base
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où la troisième flèche est la restriction de la projection naturelle de
L G sur W F . On
suppose que cette suite est exacte et scindée, c’est-à-dire qu’il existe une section
W F → G
qui soit un homomorphisme continu. Fixons une paire de Borel épinglée
ˆ
E
= ( ˆ
B
, ˆ
T
, ( ˆ
E
α ) α ∈Δ ) de ˆ
G ˜
s . Pour w ∈ W F , on peut choisir g w = (g(w), w) ∈ G
tel que ad gw conserve cette paire. L’application w → w G = ad gw s’étend en une
action galoisienne de Γ F sur ˆ
G ˜
s . On suppose que ˆ
G ˜
s muni de cette action est
un groupe dual de G
. Cela nous autorise à noter ˆ
G ˜
s = ˆ
G
. On suppose enfin
qu’il existe un cocycle a : W F → Z( ˆ
G), dont la classe est a, tel que pour tout
(g, w) ∈ G
, on ait l’égalité
ad ˜
s (g, w) = (a(w)g, w).
Soient G
1 = (G
1 , G
1 , ˜
s 1 ) et G
2 = (G
2 , G
2 , ˜
s 2 ) deux données comme ci-dessus.
Une équivalence entre ces données est un élément x ∈ ˆ
G tel que xG
1 x
−1 = G
2 et
x˜ s 1 x
−1
∈ Z( ˆ
G)˜ s 2 . De ad
−1
x : ˆ
G
2 → ˆ
G
1 se déduit par dualité un automorphisme
α x : G
1 → G
2 défini sur F , ou plus exactement une classe de tels isomorphismes
modulo l’action de l’un ou l’autre des groupes G
1,AD (F ) ou G
2,AD (F ). En particulier, pour une seule donnée G
, on note Aut(G
) le groupe de ses automorphismes,
c’est-à-dire des équivalences entre cette donnée et elle-même. Ce groupe contient
ˆ
G
. Notons Out(G
) le sous-groupe formé des α x dans le groupe Out(G
) des
automorphismes extérieurs de G
. On a une suite exacte ([48] p.19)
1 → (Z( ˆ
G)/(Z( ˆ
G) ∩ ˆ
G
))
ΓF
→ Aut(G
)/ ˆ
G
→ Out(G
) → 1.
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique pour (G, ˜
G, a). Fixons une
paire de Borel épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E α ) α∈Δ ) de ˆ
G telle que ad ˜
s conserve ˆ
B et
ˆ
T . Posons ˆ
B
= ˆ
B ∩ ˆ
G
, ˆ
T
= ˆ
T ∩ ˆ
G
et complétons ( ˆ
B
, ˆ
T
) en une paire de
Borel épinglée ˆ
E
= ( ˆ
B
, ˆ
T
, ( ˆ
E
α ) α ∈Δ ) de ˆ
G
. Ainsi qu’on l’a expliqué en 1.4,
en référence à la paire ˆ
E, on modifie l’action σ → σ G de Γ F sur ˆ
G, on modifie
l’isomorphisme
L G ˆ
G W F et on définit l’élément ˆ
θ ∈ ˆ
G ˆ
θ. On peut écrire
˜
s = s ˆ
θ, avec s ∈ ˆ
T . On construit comme ci-dessus l’action galoisienne σ → σ G qui
conserve ˆ
E
. On a l’égalité ˆ
T
= ˆ
T
ˆ
θ,0 . Cette égalité identifie le groupe de Weyl W
de ˆ
G
(ou G
) à un sous-groupe des éléments invariants par ˆ
θ du groupe de Weyl
de ˆ
G, lequel s’identifie par dualité à W
θ
∗ . Le plongement ˆ
ξ : ˆ
T
⊂ ˆ
T n’est pas
équivariant pour les actions galoisiennes. Il existe un cocycle ω G : Γ F → W
θ
∗ tel
que ω G (σ) ◦ σ( ˆ
ξ) = ˆ
ξ. Remarquons que le groupe Z( ˆ
G) ∩ ˆ
G
qui intervient dans
la suite exacte ci-dessus est égal à Z( ˆ
G) ∩ T
ˆ
θ,0 . Introduisons la paire de Borel
épinglée E
∗ = (B
∗ , T
∗ , (E
∗
α ) α ∈Δ ) de G
. Les tores ˆ
T et ˆ
T
sont duaux de T
∗
et T
∗ . Le tore ˆ
T
ˆ
θ,0 est dual de T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ). Du plongement ˆ
ξ se déduit par
dualité un homomorphisme
ξ : T
∗
→ T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ) T
∗ .
Pour σ ∈ Γ F , on a l’égalité σ(ξ) = ξ ◦ ω G (σ).
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où la troisième flèche est la restriction de la projection naturelle de
L G sur W F . On
suppose que cette suite est exacte et scindée, c’est-à-dire qu’il existe une section
W F → G
qui soit un homomorphisme continu. Fixons une paire de Borel épinglée
ˆ
E
= ( ˆ
B
, ˆ
T
, ( ˆ
E
α ) α ∈Δ ) de ˆ
G ˜
s . Pour w ∈ W F , on peut choisir g w = (g(w), w) ∈ G
tel que ad gw conserve cette paire. L’application w → w G = ad gw s’étend en une
action galoisienne de Γ F sur ˆ
G ˜
s . On suppose que ˆ
G ˜
s muni de cette action est
un groupe dual de G
. Cela nous autorise à noter ˆ
G ˜
s = ˆ
G
. On suppose enfin
qu’il existe un cocycle a : W F → Z( ˆ
G), dont la classe est a, tel que pour tout
(g, w) ∈ G
, on ait l’égalité
ad ˜
s (g, w) = (a(w)g, w).
Soient G
1 = (G
1 , G
1 , ˜
s 1 ) et G
2 = (G
2 , G
2 , ˜
s 2 ) deux données comme ci-dessus.
Une équivalence entre ces données est un élément x ∈ ˆ
G tel que xG
1 x
−1 = G
2 et
x˜ s 1 x
−1
∈ Z( ˆ
G)˜ s 2 . De ad
−1
x : ˆ
G
2 → ˆ
G
1 se déduit par dualité un automorphisme
α x : G
1 → G
2 défini sur F , ou plus exactement une classe de tels isomorphismes
modulo l’action de l’un ou l’autre des groupes G
1,AD (F ) ou G
2,AD (F ). En particulier, pour une seule donnée G
, on note Aut(G
) le groupe de ses automorphismes,
c’est-à-dire des équivalences entre cette donnée et elle-même. Ce groupe contient
ˆ
G
. Notons Out(G
) le sous-groupe formé des α x dans le groupe Out(G
) des
automorphismes extérieurs de G
. On a une suite exacte ([48] p.19)
1 → (Z( ˆ
G)/(Z( ˆ
G) ∩ ˆ
G
))
ΓF
→ Aut(G
)/ ˆ
G
→ Out(G
) → 1.
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique pour (G, ˜
G, a). Fixons une
paire de Borel épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E α ) α∈Δ ) de ˆ
G telle que ad ˜
s conserve ˆ
B et
ˆ
T . Posons ˆ
B
= ˆ
B ∩ ˆ
G
, ˆ
T
= ˆ
T ∩ ˆ
G
et complétons ( ˆ
B
, ˆ
T
) en une paire de
Borel épinglée ˆ
E
= ( ˆ
B
, ˆ
T
, ( ˆ
E
α ) α ∈Δ ) de ˆ
G
. Ainsi qu’on l’a expliqué en 1.4,
en référence à la paire ˆ
E, on modifie l’action σ → σ G de Γ F sur ˆ
G, on modifie
l’isomorphisme
L G ˆ
G W F et on définit l’élément ˆ
θ ∈ ˆ
G ˆ
θ. On peut écrire
˜
s = s ˆ
θ, avec s ∈ ˆ
T . On construit comme ci-dessus l’action galoisienne σ → σ G qui
conserve ˆ
E
. On a l’égalité ˆ
T
= ˆ
T
ˆ
θ,0 . Cette égalité identifie le groupe de Weyl W
de ˆ
G
(ou G
) à un sous-groupe des éléments invariants par ˆ
θ du groupe de Weyl
de ˆ
G, lequel s’identifie par dualité à W
θ
∗ . Le plongement ˆ
ξ : ˆ
T
⊂ ˆ
T n’est pas
équivariant pour les actions galoisiennes. Il existe un cocycle ω G : Γ F → W
θ
∗ tel
que ω G (σ) ◦ σ( ˆ
ξ) = ˆ
ξ. Remarquons que le groupe Z( ˆ
G) ∩ ˆ
G
qui intervient dans
la suite exacte ci-dessus est égal à Z( ˆ
G) ∩ T
ˆ
θ,0 . Introduisons la paire de Borel
épinglée E
∗ = (B
∗ , T
∗ , (E
∗
α ) α ∈Δ ) de G
. Les tores ˆ
T et ˆ
T
sont duaux de T
∗
et T
∗ . Le tore ˆ
T
ˆ
θ,0 est dual de T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ). Du plongement ˆ
ξ se déduit par
dualité un homomorphisme
ξ : T
∗
→ T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ) T
∗ .
Pour σ ∈ Γ F , on a l’égalité σ(ξ) = ξ ◦ ω G (σ).