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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
commute à l’action de Γ F . Remarquons que l’ensemble ˆ
G ˆ
θ est naturellement un
espace tordu sous ˆ
G, défini sur C. Cela nous permet d’utiliser pour lui les notations
et terminologie introduites pour ˜
G. On peut aussi introduire l’espace
L ˜
G =
L G ˆ
θ
qui est, en un sens convenable, un espace tordu sous
L G.
Il est gênant de se limiter aux paires de Borel épinglées de ˆ
G conservées par
l’action galoisienne, l’ensemble de ces paires n’étant pas invariant par conjugaison.
On peut s’affranchir de cette limitation de la façon suivante. Soit ˆ
E une paire de
Borel épinglée quelconque de ˆ
G. On choisit y ∈ ˆ
G SC (le revêtement simplement
connexe de ˆ
G) tel que ad y −1 ( ˆ
E) soit la paire que l’on a fixée ci-dessus. On définit
une nouvelle action de Γ F sur ˆ
G par w → ad y w G ad y −1 . Elle conserve ˆ
E. Le groupe
L G est encore le produit semi-direct ˆ
G W F pour cette nouvelle action : on envoie
(g, w) sur (gw G (y)y
−1 , w). On pose ˆ
θ = y ˆ
θy
−1
∈
L ˜
G. L’automorphisme déduit de ˆ
θ
(que l’on note encore ˆ
θ) conserve ˆ
E, commute à la nouvelle action galoisienne et on
a l’égalité ˆ
G ˆ
θ = ˆ
G ˆ
θ. Ces définitions dépendent du choix de y qui n’est déterminé
que modulo Z( ˆ
G SC ), mais ce choix s’avérera sans importance. Ainsi, pour une
paire ˆ
E fixée, on choisira y, on définira ˆ
θ comme ci-dessus et une action galoisienne,
que l’on notera encore w → w G en espérant que cela ne crée pas d’ambiguïté.
I.1.5 Données endoscopiques
Pour la suite du chapitre, F est un corps local de caractéristique nulle, G est un
groupe réductif connexe et ˜
G est un espace tordu sous G, tous deux définis sur F .
On fixe de plus une classe de cohomologie a ∈ H
1 (W F , Z( ˆ
G)). D’après un théorème
de Langlands, ce groupe de cohomologie s’envoie dans celui des caractères continus
de G(F ) (on rappellera cette correspondance en 1.13). Si F = R, cette application
est toujours injective et elle est surjective pour la plupart des groupes usuels (en
particulier, elle est surjective si G est quasi-déployé). Si F = R, l’application est toujours surjective mais pas toujours injective. On renvoie à [54] pour ces propriétés.
On note ω le caractère de G(F ) associé à a. On impose les hypothèses suivantes :
• ˜
G(F ) = ∅ ;
• θ
∗ est d’ordre fini.
On peut aussi imposer l’hypothèse
• ω est trivial sur Z(G; F )
θ ,
sinon toute la théorie est vide. Mais, parce que cette hypothèse n’est pas stable
par passage à un groupe de Levi, il vaut mieux ne pas l’imposer.
Une donnée endoscopique pour (G, ˜
G, a) est un triplet G
= (G
, G
, ˜
s) vérifiant les conditions qui suivent. Le terme G
est un groupe réductif connexe défini
et quasi-déployé sur F . Le terme ˜
s est un élément semi-simple de ˆ
G ˆ
θ. Le terme G
est un sous-groupe fermé de
L G. On suppose que G
∩ ˆ
G = ˆ
G ˜
s (composante neutre
du commutant de ˜
s). On a donc une suite :
1 → ˆ
G ˜
s → G
→ W F → 1,
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
commute à l’action de Γ F . Remarquons que l’ensemble ˆ
G ˆ
θ est naturellement un
espace tordu sous ˆ
G, défini sur C. Cela nous permet d’utiliser pour lui les notations
et terminologie introduites pour ˜
G. On peut aussi introduire l’espace
L ˜
G =
L G ˆ
θ
qui est, en un sens convenable, un espace tordu sous
L G.
Il est gênant de se limiter aux paires de Borel épinglées de ˆ
G conservées par
l’action galoisienne, l’ensemble de ces paires n’étant pas invariant par conjugaison.
On peut s’affranchir de cette limitation de la façon suivante. Soit ˆ
E une paire de
Borel épinglée quelconque de ˆ
G. On choisit y ∈ ˆ
G SC (le revêtement simplement
connexe de ˆ
G) tel que ad y −1 ( ˆ
E) soit la paire que l’on a fixée ci-dessus. On définit
une nouvelle action de Γ F sur ˆ
G par w → ad y w G ad y −1 . Elle conserve ˆ
E. Le groupe
L G est encore le produit semi-direct ˆ
G W F pour cette nouvelle action : on envoie
(g, w) sur (gw G (y)y
−1 , w). On pose ˆ
θ = y ˆ
θy
−1
∈
L ˜
G. L’automorphisme déduit de ˆ
θ
(que l’on note encore ˆ
θ) conserve ˆ
E, commute à la nouvelle action galoisienne et on
a l’égalité ˆ
G ˆ
θ = ˆ
G ˆ
θ. Ces définitions dépendent du choix de y qui n’est déterminé
que modulo Z( ˆ
G SC ), mais ce choix s’avérera sans importance. Ainsi, pour une
paire ˆ
E fixée, on choisira y, on définira ˆ
θ comme ci-dessus et une action galoisienne,
que l’on notera encore w → w G en espérant que cela ne crée pas d’ambiguïté.
I.1.5 Données endoscopiques
Pour la suite du chapitre, F est un corps local de caractéristique nulle, G est un
groupe réductif connexe et ˜
G est un espace tordu sous G, tous deux définis sur F .
On fixe de plus une classe de cohomologie a ∈ H
1 (W F , Z( ˆ
G)). D’après un théorème
de Langlands, ce groupe de cohomologie s’envoie dans celui des caractères continus
de G(F ) (on rappellera cette correspondance en 1.13). Si F = R, cette application
est toujours injective et elle est surjective pour la plupart des groupes usuels (en
particulier, elle est surjective si G est quasi-déployé). Si F = R, l’application est toujours surjective mais pas toujours injective. On renvoie à [54] pour ces propriétés.
On note ω le caractère de G(F ) associé à a. On impose les hypothèses suivantes :
• ˜
G(F ) = ∅ ;
• θ
∗ est d’ordre fini.
On peut aussi imposer l’hypothèse
• ω est trivial sur Z(G; F )
θ ,
sinon toute la théorie est vide. Mais, parce que cette hypothèse n’est pas stable
par passage à un groupe de Levi, il vaut mieux ne pas l’imposer.
Une donnée endoscopique pour (G, ˜
G, a) est un triplet G
= (G
, G
, ˜
s) vérifiant les conditions qui suivent. Le terme G
est un groupe réductif connexe défini
et quasi-déployé sur F . Le terme ˜
s est un élément semi-simple de ˆ
G ˆ
θ. Le terme G
est un sous-groupe fermé de
L G. On suppose que G
∩ ˆ
G = ˆ
G ˜
s (composante neutre
du commutant de ˜
s). On a donc une suite :
1 → ˆ
G ˜
s → G
→ W F → 1,