I.1. Les définitions de base
7
z ∈ Z(G) et y ∈ G e . Alors E = ad zy (E
) = ad y (E
) donc les deux paires de Borel
épinglées sont conjuguées par l’élément y ∈ G e .
Pour e ∈ Θ, choisissons E ∈ Epingl e . L’élément e appartient à Z( ˜
G, E) et cet
ensemble s’envoie naturellement dans Z( ˜
G). Donc e s’envoie sur un élément de cet
ensemble. En utilisant (6), on voit que cet élément ne dépend pas de la paire E
choisie. Cela définit une application Θ → Z( ˜
G). Il est immédiat qu’elle est équivariante pour les actions galoisiennes. L’ensemble Θ est invariant par conjugaison
par G. Notons Θ/ conj l’ensemble des classes de conjugaison. On a
(7) l’application ci-dessus se quotiente en une bijection de Θ/ conj sur Z( ˜
G).
Preuve. Soient e, e
∈ Θ, supposons ces éléments conjugués. Soit x ∈ G tel que
ad x (e
) = e. Choisissons E
∈ Epingl e , posons E = ad x (E
). On a E ∈ Epingl e . On
choisit ces paires pour définir les images de e et e
dans Z( ˜
G). La définition de
l’identification Z( ˜
G, E) Z( ˜
G, E
) (cf. 1.2) entraîne que ces images sont égales.
Inversement, soient e, e
∈ Θ, supposons que ces éléments ont même image dans
Z( ˜
G). Fixons E ∈ Epingl e , E
∈ Epingl e et x ∈ G tel que ad x (E
) = E. Alors
ad x (e
) ∈ Z( ˜
G, E) donc il existe z ∈ Z(G) tel que ad x (e
) = ze. La première
partie de la preuve montre que e
et ze ont même image dans Z( ˜
G), donc aussi e
et ze. Cela implique que z appartient à (1 − θ)(Z(G)). Ecrivons z = (θ − 1)(z
)
avec z
∈ Z(G). Alors ad z x (e
) = e donc e et e
sont conjugués. Cela prouve
que l’application Θ → Z( ˜
G) se quotiente en une injection de Θ/ conj dans Z( ˜
G).
Pour une paire de Borel épinglée E, l’ensemble Z( ˜
G, E) est contenu dans Θ et
notre application y coïncide avec l’application naturelle Z( ˜
G, E) → Z( ˜
G). Cette
dernière étant surjective par définition de Z( ˜
G), notre application l’est aussi.
I.1.4 L-groupes
Désormais, F sera soit un corps local, soit un corps de nombres. On note W F son
groupe de Weil. Via l’homomorphisme naturel de W F dans Γ F , le groupe W F agit
sur tout ensemble sur lequel agit Γ F .
Soit ˆ
G le groupe dual de G. Rappelons ce que cela signifie. C’est un groupe
réductif connexe défini sur C. On définit comme en 1.2 sa paire de Borel épinglée
ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T,( ˆ
E α ) α∈ ˆ
Δ ). Des isomorphismes en dualité X ∗ (T
∗ ) X
∗ ( ˆ
T), X
∗ (T
∗ )
X ∗ ( ˆ
T) sont donnés, qui échangent ensembles de racines et ensembles de coracines
et respectent les ordres définis par B
∗ et ˆ
B. Le groupe ˆ
G est muni d’une action
algébrique de Γ F notée w → w G . Il en résulte une action sur ˆ
E. On suppose que
les isomorphismes ci-dessus sont équivariants pour les actions galoisiennes. On
suppose de plus que ˆ
G possède une paire de Borel épinglée qui est conservée par
l’action galoisienne. On note
L G le produit semi-direct ˆ
G W F .
Par dualité, il se déduit de θ
∗ un automorphisme ˆ
θ de ˆ
T. Soulignons que θ
∗
→
ˆ
θ est bien une dualité, c’est-à-dire est contravariante. Identifions ˆ
E à une paire de
Borel épinglée de ˆ
G conservée par l’action galoisienne. Alors ˆ
θ se prolonge de façon
unique en un automorphisme ˆ
θ de ˆ
G qui préserve cette paire. L’automorphisme ˆ
θ
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z ∈ Z(G) et y ∈ G e . Alors E = ad zy (E
) = ad y (E
) donc les deux paires de Borel
épinglées sont conjuguées par l’élément y ∈ G e .
Pour e ∈ Θ, choisissons E ∈ Epingl e . L’élément e appartient à Z( ˜
G, E) et cet
ensemble s’envoie naturellement dans Z( ˜
G). Donc e s’envoie sur un élément de cet
ensemble. En utilisant (6), on voit que cet élément ne dépend pas de la paire E
choisie. Cela définit une application Θ → Z( ˜
G). Il est immédiat qu’elle est équivariante pour les actions galoisiennes. L’ensemble Θ est invariant par conjugaison
par G. Notons Θ/ conj l’ensemble des classes de conjugaison. On a
(7) l’application ci-dessus se quotiente en une bijection de Θ/ conj sur Z( ˜
G).
Preuve. Soient e, e
∈ Θ, supposons ces éléments conjugués. Soit x ∈ G tel que
ad x (e
) = e. Choisissons E
∈ Epingl e , posons E = ad x (E
). On a E ∈ Epingl e . On
choisit ces paires pour définir les images de e et e
dans Z( ˜
G). La définition de
l’identification Z( ˜
G, E) Z( ˜
G, E
) (cf. 1.2) entraîne que ces images sont égales.
Inversement, soient e, e
∈ Θ, supposons que ces éléments ont même image dans
Z( ˜
G). Fixons E ∈ Epingl e , E
∈ Epingl e et x ∈ G tel que ad x (E
) = E. Alors
ad x (e
) ∈ Z( ˜
G, E) donc il existe z ∈ Z(G) tel que ad x (e
) = ze. La première
partie de la preuve montre que e
et ze ont même image dans Z( ˜
G), donc aussi e
et ze. Cela implique que z appartient à (1 − θ)(Z(G)). Ecrivons z = (θ − 1)(z
)
avec z
∈ Z(G). Alors ad z x (e
) = e donc e et e
sont conjugués. Cela prouve
que l’application Θ → Z( ˜
G) se quotiente en une injection de Θ/ conj dans Z( ˜
G).
Pour une paire de Borel épinglée E, l’ensemble Z( ˜
G, E) est contenu dans Θ et
notre application y coïncide avec l’application naturelle Z( ˜
G, E) → Z( ˜
G). Cette
dernière étant surjective par définition de Z( ˜
G), notre application l’est aussi.
I.1.4 L-groupes
Désormais, F sera soit un corps local, soit un corps de nombres. On note W F son
groupe de Weil. Via l’homomorphisme naturel de W F dans Γ F , le groupe W F agit
sur tout ensemble sur lequel agit Γ F .
Soit ˆ
G le groupe dual de G. Rappelons ce que cela signifie. C’est un groupe
réductif connexe défini sur C. On définit comme en 1.2 sa paire de Borel épinglée
ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T,( ˆ
E α ) α∈ ˆ
Δ ). Des isomorphismes en dualité X ∗ (T
∗ ) X
∗ ( ˆ
T), X
∗ (T
∗ )
X ∗ ( ˆ
T) sont donnés, qui échangent ensembles de racines et ensembles de coracines
et respectent les ordres définis par B
∗ et ˆ
B. Le groupe ˆ
G est muni d’une action
algébrique de Γ F notée w → w G . Il en résulte une action sur ˆ
E. On suppose que
les isomorphismes ci-dessus sont équivariants pour les actions galoisiennes. On
suppose de plus que ˆ
G possède une paire de Borel épinglée qui est conservée par
l’action galoisienne. On note
L G le produit semi-direct ˆ
G W F .
Par dualité, il se déduit de θ
∗ un automorphisme ˆ
θ de ˆ
T. Soulignons que θ
∗
→
ˆ
θ est bien une dualité, c’est-à-dire est contravariante. Identifions ˆ
E à une paire de
Borel épinglée de ˆ
G conservée par l’action galoisienne. Alors ˆ
θ se prolonge de façon
unique en un automorphisme ˆ
θ de ˆ
G qui préserve cette paire. L’automorphisme ˆ
θ