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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
défini sur F . Ecrivons γ = te comme en (1). Pour tout σ ∈ Γ F , on introduit un
élément u E (σ) ∈ G SC comme en 1.2. On a
(3) u E (σ) normalise T et son image dans W appartient à W
θ ;
(4) il existe z(σ) ∈ Z(G) tel que u E (σ)σ(e)u E (σ)
−1 = z(σ)
−1 e et σ ◦ p(t) =
p(z(σ)t).
Preuve. La paire (σ(B), T ) est conservée par ad γ , donc aussi par ad e . Cela entraîne
comme ci-dessus qu’elle se déduit de (B, T ) par l’action d’un élément de W
θ . Or
(B, T ) = ad uE (σ) (σ(B), T ), d’où (3).
On peut écrire u E (σ) = n(σ)t(σ) où t(σ) ∈ T et n(σ) ∈ G e . L’élément
u E (σ)σ(e)u E (σ)
−1 appartient encore à Z( ˜
G, E), donc est de la forme z(σ)
−1 e, avec
z(σ) ∈ Z(G). On obtient l’égalité σ(e) = (θ − 1)(t(σ))z(σ)
−1 e. Puisque γ = te et
σ(γ) = γ, on a aussi σ(t) = z(σ)(1 − θ)(t(σ))t, donc σ ◦ p(t) = p(z(σ)t).
Levons les hypothèses précédentes et supposons γ fortement régulier. Alors
(5) p(t) est régulier au sens que son fixateur dans W
θ est réduit à l’unité.
Preuve. Soit ω ∈ W
θ qui fixe p(t). On peut relever ω en un élément n ∈ G e .
L’égalité ω ◦ p(t) = p(t) signifie qu’il existe t
∈ T tel que t
ntn
−1 θ(t
)
−1 = t.
Mais alors t
nγ(t
n)
−1 = γ donc t
n ∈ Z G (γ). Puisque γ est fortement régulier,
Z G (γ) = T
θ et cela entraîne ω = 1.
Remarquons que si γ ∈ ˜
G reg (F ), T est uniquement déterminé par γ et est
défini sur F : c’est le commutant dans G de G γ .
Soit (B, T ) une paire de Borel de G. Soit ˜
T le normalisateur commun de B et
T . Nous dirons que ˜
T est un tore tordu maximal de ˜
G si T est défini sur F (mais
pas forcément B) et ˜
T ∩ ˜
G(F ) est non vide. Dans ce cas, ˜
T est aussi défini sur
F . Pour un tel tore tordu, notons θ l’automorphisme ad γ de T pour un élément
quelconque γ ∈ ˜
T . On dit que ˜
T est elliptique si et seulement si le plus grand
sous-tore déployé de T
θ,0 est A ˜
G .
Revenons sur la définition de l’ensemble Z( ˜
G). Notons Θ la réunion des
Z( ˜
G, E) sur l’ensemble de toutes les paires de Borel épinglées E. Pour e ∈ Θ,
notons Epingl e l’ensemble des E telles que e ∈ Z( ˜
G, E). On a
(6) pour e ∈ Θ, l’ensemble Epingl e est une classe de conjugaison sous G e .
Preuve. Il est clair que la conjugaison par un élément de G e conserve Epingl e .
Inversement, soient E, E
∈ Epingl e . D’après 1.2(2) et (2) ci-dessus, il existe x ∈ G e
tel que E et ad x (E
) aient la même paire de Borel sous-jacente. Notons (B, T )
cette paire. Il existe alors t ∈ T de sorte que E = ad tx (E
). Posons θ = ad e .
Puisque θ conserve E
et que x ∈ G e , θ conserve ad x (E
). Puisque θ conserve aussi
E = ad tx (E
), on a θ(t) ∈ tZ(G). Donc l’image t ad de t dans T ad est fixe par θ.
Mais on sait (cf. [48] 1.1) que (T ad )
θ est connexe donc est l’image naturelle de
T
θ,0 . On a donc t ∈ Z(G)T
θ,0 . Puisque T
θ,0
⊂ G e , on peut écrire tx = zy avec
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
défini sur F . Ecrivons γ = te comme en (1). Pour tout σ ∈ Γ F , on introduit un
élément u E (σ) ∈ G SC comme en 1.2. On a
(3) u E (σ) normalise T et son image dans W appartient à W
θ ;
(4) il existe z(σ) ∈ Z(G) tel que u E (σ)σ(e)u E (σ)
−1 = z(σ)
−1 e et σ ◦ p(t) =
p(z(σ)t).
Preuve. La paire (σ(B), T ) est conservée par ad γ , donc aussi par ad e . Cela entraîne
comme ci-dessus qu’elle se déduit de (B, T ) par l’action d’un élément de W
θ . Or
(B, T ) = ad uE (σ) (σ(B), T ), d’où (3).
On peut écrire u E (σ) = n(σ)t(σ) où t(σ) ∈ T et n(σ) ∈ G e . L’élément
u E (σ)σ(e)u E (σ)
−1 appartient encore à Z( ˜
G, E), donc est de la forme z(σ)
−1 e, avec
z(σ) ∈ Z(G). On obtient l’égalité σ(e) = (θ − 1)(t(σ))z(σ)
−1 e. Puisque γ = te et
σ(γ) = γ, on a aussi σ(t) = z(σ)(1 − θ)(t(σ))t, donc σ ◦ p(t) = p(z(σ)t).
Levons les hypothèses précédentes et supposons γ fortement régulier. Alors
(5) p(t) est régulier au sens que son fixateur dans W
θ est réduit à l’unité.
Preuve. Soit ω ∈ W
θ qui fixe p(t). On peut relever ω en un élément n ∈ G e .
L’égalité ω ◦ p(t) = p(t) signifie qu’il existe t
∈ T tel que t
ntn
−1 θ(t
)
−1 = t.
Mais alors t
nγ(t
n)
−1 = γ donc t
n ∈ Z G (γ). Puisque γ est fortement régulier,
Z G (γ) = T
θ et cela entraîne ω = 1.
Remarquons que si γ ∈ ˜
G reg (F ), T est uniquement déterminé par γ et est
défini sur F : c’est le commutant dans G de G γ .
Soit (B, T ) une paire de Borel de G. Soit ˜
T le normalisateur commun de B et
T . Nous dirons que ˜
T est un tore tordu maximal de ˜
G si T est défini sur F (mais
pas forcément B) et ˜
T ∩ ˜
G(F ) est non vide. Dans ce cas, ˜
T est aussi défini sur
F . Pour un tel tore tordu, notons θ l’automorphisme ad γ de T pour un élément
quelconque γ ∈ ˜
T . On dit que ˜
T est elliptique si et seulement si le plus grand
sous-tore déployé de T
θ,0 est A ˜
G .
Revenons sur la définition de l’ensemble Z( ˜
G). Notons Θ la réunion des
Z( ˜
G, E) sur l’ensemble de toutes les paires de Borel épinglées E. Pour e ∈ Θ,
notons Epingl e l’ensemble des E telles que e ∈ Z( ˜
G, E). On a
(6) pour e ∈ Θ, l’ensemble Epingl e est une classe de conjugaison sous G e .
Preuve. Il est clair que la conjugaison par un élément de G e conserve Epingl e .
Inversement, soient E, E
∈ Epingl e . D’après 1.2(2) et (2) ci-dessus, il existe x ∈ G e
tel que E et ad x (E
) aient la même paire de Borel sous-jacente. Notons (B, T )
cette paire. Il existe alors t ∈ T de sorte que E = ad tx (E
). Posons θ = ad e .
Puisque θ conserve E
et que x ∈ G e , θ conserve ad x (E
). Puisque θ conserve aussi
E = ad tx (E
), on a θ(t) ∈ tZ(G). Donc l’image t ad de t dans T ad est fixe par θ.
Mais on sait (cf. [48] 1.1) que (T ad )
θ est connexe donc est l’image naturelle de
T
θ,0 . On a donc t ∈ Z(G)T
θ,0 . Puisque T
θ,0
⊂ G e , on peut écrire tx = zy avec