I.1. Les définitions de base
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ment θ. Remarquons que, si γ ∈ ˜
G est tel que ad γ conserve seulement (B, T ), la
restriction de ad γ à T coïncide avec celle de θ. Par restriction puis passage à la
limite, on obtient un automorphisme de E
∗ que l’on note θ
∗ . Il commute à l’action
galoisienne sur E
∗ . Rappelons deux propriétés cruciales du sous-groupe W
θ
∗ (avec
la notation usuelle : c’est le sous-groupe des points fixes de θ
∗ agissant dans W ) :
(1) un élément ω ∈ W appartient à W
θ
∗ si et seulement s’il conserve (T
∗ )
θ
∗ ou
(T
∗ )
θ
∗ ,0 ;
(2) pour E et e ∈ Z( ˜
G, E) comme ci-dessus, W
θ
∗ s’identifie au groupe de Weyl
de G e relatif à son sous-tore maximal T
θ,0 .
I.1.3 Eléments semi-simples
Un élément γ ∈ ˜
G est dit semi-simple si et seulement s’il existe une paire de
Borel de G qui est conservée par ad γ (la terminologie plus correcte est «quasisemi-simple» ; en vertu de l’hypothèse «θ
∗ est d’ordre fini» que l’on imposera dès
1.5, on peut aussi bien abandonner le «quasi»). Supposons γ semi-simple. On dit
qu’il est fortement régulier si et seulement si Z G (γ) est abélien et la composante
neutre G γ est un tore. On note ˜
G ss l’ensemble des éléments semi-simples et ˜
G reg
l’ensemble des éléments semi-simples et fortement réguliers.
Soient E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) une paire de Borel épinglée et γ ∈ ˜
G tel que ad γ
conserve (B, T ). On pose θ = θ E . On a
(1) pour tout e ∈ Z( ˜
G, E), il existe t ∈ T tel que γ = te ;
(2) une paire de Borel (B
, T
) de G est conservée par ad γ si et seulement s’il
existe ω ∈ W
θ et x ∈ G γ tels que (B
, T
) = ad x ◦ω(B, T ).
Preuve. Il existe t ∈ G tel que γ = te. Puisque ad γ et ad e conservent (B, T ), ad t
aussi donc t appartient à T . Pour ω ∈ W
θ , on relève ω grâce à 1.2(2) en un élément
n ∈ G e qui normalise T
θ,0 , donc aussi son commutant T . La paire ω(B, T ) =
ad n (B, T ) est conservée par ad e . Elle l’est aussi par t ∈ T = ad n (T ), donc elle est
conservée par ad γ . Pour x ∈ G γ , la paire ad x ◦ω(B, T ) l’est aussi. Inversement,
soit (B
, T
) une paire conservée par ad γ . D’après [48] théorème 1.1.A, le couple
(B
∩G γ , T
∩G γ ) est une paire de Borel de G γ . Il existe donc x ∈ G γ tel que l’image
de cette paire par ad x ait pour tore maximal T
θ,0 . Quitte à remplacer (B
, T
) par
ad x (B
, T
), on peut supposer T
= T . Cette paire est alors conservée par ad t ,
donc aussi par ad e . Par le même argument, le couple (B
∩ G e , T
θ,0 ) est une paire
de Borel de G e . Grâce à 1.2(2), il existe ω ∈ W
θ tel que (B
∩ G e , T
θ,0 ) se déduise
de (B ∩ G e , T
θ,0 ) par l’action de ω. Autrement dit, (B
, T ) et (ω(B), T ) ont même
intersection avec G e . Or, parce que ad e conserve un épinglage, cette opération
d’intersection avec G e est une bijection entre les paires de Borel de G conservées
par ad e et les paires de Borel de G e , cf. [48] p.14. Donc (B
, T ) = (ω(B), T ).
Notons p : T → T /(1 − θ)(T ) l’homomorphisme naturel. Le groupe W
θ agit
sur le quotient T /(1 − θ)(T ). Supposons T défini sur F et γ ∈ ˜
G(F ). Alors θ est
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ment θ. Remarquons que, si γ ∈ ˜
G est tel que ad γ conserve seulement (B, T ), la
restriction de ad γ à T coïncide avec celle de θ. Par restriction puis passage à la
limite, on obtient un automorphisme de E
∗ que l’on note θ
∗ . Il commute à l’action
galoisienne sur E
∗ . Rappelons deux propriétés cruciales du sous-groupe W
θ
∗ (avec
la notation usuelle : c’est le sous-groupe des points fixes de θ
∗ agissant dans W ) :
(1) un élément ω ∈ W appartient à W
θ
∗ si et seulement s’il conserve (T
∗ )
θ
∗ ou
(T
∗ )
θ
∗ ,0 ;
(2) pour E et e ∈ Z( ˜
G, E) comme ci-dessus, W
θ
∗ s’identifie au groupe de Weyl
de G e relatif à son sous-tore maximal T
θ,0 .
I.1.3 Eléments semi-simples
Un élément γ ∈ ˜
G est dit semi-simple si et seulement s’il existe une paire de
Borel de G qui est conservée par ad γ (la terminologie plus correcte est «quasisemi-simple» ; en vertu de l’hypothèse «θ
∗ est d’ordre fini» que l’on imposera dès
1.5, on peut aussi bien abandonner le «quasi»). Supposons γ semi-simple. On dit
qu’il est fortement régulier si et seulement si Z G (γ) est abélien et la composante
neutre G γ est un tore. On note ˜
G ss l’ensemble des éléments semi-simples et ˜
G reg
l’ensemble des éléments semi-simples et fortement réguliers.
Soient E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) une paire de Borel épinglée et γ ∈ ˜
G tel que ad γ
conserve (B, T ). On pose θ = θ E . On a
(1) pour tout e ∈ Z( ˜
G, E), il existe t ∈ T tel que γ = te ;
(2) une paire de Borel (B
, T
) de G est conservée par ad γ si et seulement s’il
existe ω ∈ W
θ et x ∈ G γ tels que (B
, T
) = ad x ◦ω(B, T ).
Preuve. Il existe t ∈ G tel que γ = te. Puisque ad γ et ad e conservent (B, T ), ad t
aussi donc t appartient à T . Pour ω ∈ W
θ , on relève ω grâce à 1.2(2) en un élément
n ∈ G e qui normalise T
θ,0 , donc aussi son commutant T . La paire ω(B, T ) =
ad n (B, T ) est conservée par ad e . Elle l’est aussi par t ∈ T = ad n (T ), donc elle est
conservée par ad γ . Pour x ∈ G γ , la paire ad x ◦ω(B, T ) l’est aussi. Inversement,
soit (B
, T
) une paire conservée par ad γ . D’après [48] théorème 1.1.A, le couple
(B
∩G γ , T
∩G γ ) est une paire de Borel de G γ . Il existe donc x ∈ G γ tel que l’image
de cette paire par ad x ait pour tore maximal T
θ,0 . Quitte à remplacer (B
, T
) par
ad x (B
, T
), on peut supposer T
= T . Cette paire est alors conservée par ad t ,
donc aussi par ad e . Par le même argument, le couple (B
∩ G e , T
θ,0 ) est une paire
de Borel de G e . Grâce à 1.2(2), il existe ω ∈ W
θ tel que (B
∩ G e , T
θ,0 ) se déduise
de (B ∩ G e , T
θ,0 ) par l’action de ω. Autrement dit, (B
, T ) et (ω(B), T ) ont même
intersection avec G e . Or, parce que ad e conserve un épinglage, cette opération
d’intersection avec G e est une bijection entre les paires de Borel de G conservées
par ad e et les paires de Borel de G e , cf. [48] p.14. Donc (B
, T ) = (ω(B), T ).
Notons p : T → T /(1 − θ)(T ) l’homomorphisme naturel. Le groupe W
θ agit
sur le quotient T /(1 − θ)(T ). Supposons T défini sur F et γ ∈ ˜
G(F ). Alors θ est