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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
nul de la droite radicielle u α ⊂ u associée à α. Pour deux paires de Borel épinglées
E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) et E
= (B
, T
, (E
α ) α ∈Δ ), il existe g ∈ G SC tel que ad g
transporte E sur E
. Cet élément g n’est pas unique mais sa classe gZ(G SC ) l’est.
Les restrictions de ad g à B et T sont uniquement déterminées. Cela autorise à
définir la paire de Borel épinglée E
∗ = (B
∗ , T
∗ , (E
∗
α ) α∈Δ ) comme la limite inductive de toutes les paires de Borel épinglées, les applications de transition étant
celles ci-dessus. Par un même procédé de limite inductive, on définit l’ensemble
Σ des racines de T
∗ dans l’algèbre de Lie de G, l’ensemble ˇ
Σ des coracines et le
groupe de Weyl W . Pour une paire de Borel épinglée E, ces ensembles s’identifient
évidemment aux mêmes ensembles relatifs à cette paire.
Le groupe Γ F agit naturellement sur l’ensemble des paires de Borel ou des
paires de Borel épinglées. On en déduit une action de Γ F sur E
∗ , notée σ →
σ G ∗ . Pour n’importe quelle paire de Borel épinglée E, σ G ∗ est la composée des
isomorphismes
E
∗
E
σG
→ σ G (E) E
∗ .
On en déduit une action de Γ F sur Δ, Σ, ˇ
Σ et W .
Pour une paire de Borel épinglée E et pour σ ∈ Γ F , choisissons u E (σ) ∈ G SC
tel que ad uE (σ) ◦σ G (E) = E. Alors l’isomorphisme de E sur E
∗ transporte l’action
σ → ad uE (σ) ◦σ G sur σ → σ G ∗ . L’application σ → u E (σ) ad est un cocycle à valeurs
dans G AD dont la classe ne dépend pas de la paire E. On dit qu’une paire de Borel
ou une paire de Borel épinglée est définie sur F si et seulement si elle est fixe par
l’action naturelle σ → σ G . Dans le cas d’une paire de Borel épinglée E, cela revient
à dire que l’on peut choisir u E (σ) = 1 pour tout σ (mais, bien sûr, σ G peut agir
sur Δ par une permutation non triviale). Dans ce cas, on peut identifier E
∗ à E et
l’action σ → σ G ∗ à l’action naturelle σ → σ G . On dit que G est quasi-déployé si
et seulement s’il existe une paire de Borel épinglée définie sur F (il suffit d’ailleurs
qu’il existe une paire de Borel tout court définie sur F ).
Pour toute paire de Borel épinglée E, notons Z( ˜
G, E) l’ensemble des e ∈ ˜
G tels
que ad e conserve E. C’est un espace principal homogène sous Z(G), à droite comme
à gauche. Notons Z( ˜
G, E) le quotient de Z( ˜
G, E) par l’action par conjugaison de
Z(G). Alors Z( ˜
G, E) est un espace principal homogène, à droite comme à gauche,
sous Z(G) := Z(G)/(1 − θ)(Z(G)) (on note 1 − θ l’homomorphisme z → zθ(z)
−1 ).
Si E
est une autre paire de Borel épinglée, on choisit comme ci-dessus g ∈ G tel
que ad g (E) = E
. Alors ad g : Z( ˜
G, E) → Z( ˜
G, E
) est un isomorphisme. Il n’est
pas uniquement défini car g n’est pas unique. Mais, par passage aux quotients,
ad g définit un isomorphisme de Z( ˜
G, E) sur Z( ˜
G, E
) qui est uniquement défini.
On note Z( ˜
G) la limite inductive des Z( ˜
G, E) sur les paires de Borel épinglées,
les applications de transition étant les isomorphismes canoniques que l’on vient de
définir. Alors Z( ˜
G) est un espace tordu sous le groupe Z(G). On définit une action
σ → σ G ∗ de Γ F sur Z( ˜
G) comme on a défini l’action sur E
∗ . On voit que Z( ˜
G) est
un espace tordu sous Z(G), défini sur F . Remarquons que Z( ˜
G)(F ) peut être vide.
Soit E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) une paire de Borel épinglée. Pour e ∈ Z( ˜
G, E),
l’automorphisme ad e de G ne dépend pas du choix de e. On le note θ E ou simple-
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
nul de la droite radicielle u α ⊂ u associée à α. Pour deux paires de Borel épinglées
E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) et E
= (B
, T
, (E
α ) α ∈Δ ), il existe g ∈ G SC tel que ad g
transporte E sur E
. Cet élément g n’est pas unique mais sa classe gZ(G SC ) l’est.
Les restrictions de ad g à B et T sont uniquement déterminées. Cela autorise à
définir la paire de Borel épinglée E
∗ = (B
∗ , T
∗ , (E
∗
α ) α∈Δ ) comme la limite inductive de toutes les paires de Borel épinglées, les applications de transition étant
celles ci-dessus. Par un même procédé de limite inductive, on définit l’ensemble
Σ des racines de T
∗ dans l’algèbre de Lie de G, l’ensemble ˇ
Σ des coracines et le
groupe de Weyl W . Pour une paire de Borel épinglée E, ces ensembles s’identifient
évidemment aux mêmes ensembles relatifs à cette paire.
Le groupe Γ F agit naturellement sur l’ensemble des paires de Borel ou des
paires de Borel épinglées. On en déduit une action de Γ F sur E
∗ , notée σ →
σ G ∗ . Pour n’importe quelle paire de Borel épinglée E, σ G ∗ est la composée des
isomorphismes
E
∗
E
σG
→ σ G (E) E
∗ .
On en déduit une action de Γ F sur Δ, Σ, ˇ
Σ et W .
Pour une paire de Borel épinglée E et pour σ ∈ Γ F , choisissons u E (σ) ∈ G SC
tel que ad uE (σ) ◦σ G (E) = E. Alors l’isomorphisme de E sur E
∗ transporte l’action
σ → ad uE (σ) ◦σ G sur σ → σ G ∗ . L’application σ → u E (σ) ad est un cocycle à valeurs
dans G AD dont la classe ne dépend pas de la paire E. On dit qu’une paire de Borel
ou une paire de Borel épinglée est définie sur F si et seulement si elle est fixe par
l’action naturelle σ → σ G . Dans le cas d’une paire de Borel épinglée E, cela revient
à dire que l’on peut choisir u E (σ) = 1 pour tout σ (mais, bien sûr, σ G peut agir
sur Δ par une permutation non triviale). Dans ce cas, on peut identifier E
∗ à E et
l’action σ → σ G ∗ à l’action naturelle σ → σ G . On dit que G est quasi-déployé si
et seulement s’il existe une paire de Borel épinglée définie sur F (il suffit d’ailleurs
qu’il existe une paire de Borel tout court définie sur F ).
Pour toute paire de Borel épinglée E, notons Z( ˜
G, E) l’ensemble des e ∈ ˜
G tels
que ad e conserve E. C’est un espace principal homogène sous Z(G), à droite comme
à gauche. Notons Z( ˜
G, E) le quotient de Z( ˜
G, E) par l’action par conjugaison de
Z(G). Alors Z( ˜
G, E) est un espace principal homogène, à droite comme à gauche,
sous Z(G) := Z(G)/(1 − θ)(Z(G)) (on note 1 − θ l’homomorphisme z → zθ(z)
−1 ).
Si E
est une autre paire de Borel épinglée, on choisit comme ci-dessus g ∈ G tel
que ad g (E) = E
. Alors ad g : Z( ˜
G, E) → Z( ˜
G, E
) est un isomorphisme. Il n’est
pas uniquement défini car g n’est pas unique. Mais, par passage aux quotients,
ad g définit un isomorphisme de Z( ˜
G, E) sur Z( ˜
G, E
) qui est uniquement défini.
On note Z( ˜
G) la limite inductive des Z( ˜
G, E) sur les paires de Borel épinglées,
les applications de transition étant les isomorphismes canoniques que l’on vient de
définir. Alors Z( ˜
G) est un espace tordu sous le groupe Z(G). On définit une action
σ → σ G ∗ de Γ F sur Z( ˜
G) comme on a défini l’action sur E
∗ . On voit que Z( ˜
G) est
un espace tordu sous Z(G), défini sur F . Remarquons que Z( ˜
G)(F ) peut être vide.
Soit E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) une paire de Borel épinglée. Pour e ∈ Z( ˜
G, E),
l’automorphisme ad e de G ne dépend pas du choix de e. On le note θ E ou simple-