I.1. Les définitions de base
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Pour g ∈ G, on note ad g l’automorphisme intérieur x → gxg
−1 de G. On note
Z(G) le centre de G et A G le plus grand sous-tore de Z(G) qui soit déployé sur F
(remarquons que A G dépend du corps F ). On pose A G = X ∗ (A G ) ⊗ Z R, avec la
notation X ∗ usuelle. On note G AD le groupe adjoint de G et G SC le revêtement
simplement connexe du groupe dérivé de G. On notera souvent de la même façon
un élément, ou un sous-ensemble, de G SC et son image dans G. Néanmoins, si
besoin est, on notera π : G SC → G l’homomorphisme naturel. Si X est un sousensemble de G, on note X ad son image dans G AD et X sc l’image réciproque de
X ad dans G SC (ce qui n’est pas forcément l’image réciproque de X). On aura
tendance à noter de la même façon deux objets qui se déduisent l’un de l’autre par
fonctorialité. Par exemple, pour g ∈ G, on note encore ad g les automorphismes de
G AD ou de G SC qui se déduisent de l’automorphisme ad g de G.
Soit ˜
G un espace tordu sous G. C’est une variété algébrique sur F . Le groupe
G agit à droite et à gauche sur ˜
G et, pour chaque action, ˜
G est un espace principal homogène sous G. Il y a une application γ → ad γ de ˜
G dans le groupe des
automorphismes de G telle que γg = ad γ (g)γ pour tout g ∈ G. On a l’égalité
ad gγg = ad g ◦ ad γ ◦ ad g pour tous g, g
∈ G et γ ∈ ˜
G. Les actions et applications
ci-dessus sont toutes algébriques et définies sur F . Pour γ ∈ ˜
G, on note Z G (γ)
son commutant dans G (c’est-à-dire l’ensemble des points fixes de ad γ ). On note
G γ = Z G (γ)
0 la composante neutre de ce groupe. L’image de ad γ dans le groupe
des automorphismes extérieurs de G ne dépend pas de γ. D’autre part, l’automorphisme ad γ définit par fonctorialité des automorphismes de divers objets. Quand ils
ne dépendent pas de γ (ou même de γ dans un sous-ensemble indiqué), on note ces
automorphismes θ. Ainsi, il y a un automorphisme θ du centre Z(G). On note A ˜
G
le plus grand tore déployé sur F contenu dans Z(G)
θ . On pose A ˜
G = X ∗ (A ˜
G ) ⊗ R.
On dira que ˜
G est à torsion intérieure si, pour γ ∈ ˜
G, l’automorphisme ad γ
de G est intérieur. En fixant γ et en le multipliant par un élément convenable de
G, on obtient un élément tel que ad γ soit l’identité. Alors l’application gγ → g
identifie ˜
G à G muni de ses actions par multiplication à droite et à gauche. Mais
cet isomorphisme n’est en général défini que sur ¯
F , car on ne peut pas toujours
trouver de γ comme ci-dessus qui appartienne à ˜
G(F ).
Exemple. On fixe un entier n ≥ 1 et un élément d ∈ F
× . On prend G = SL(n) et
˜
G = {g ∈ GL(n); det(g) = d}. Cet espace tordu est trivial sur F si et seulement
si d appartient au groupe F
×,n des puissances n-ièmes dans F
× .
I.1.2 Paires de Borel
On appelle paire de Borel de G un couple (B, T ) formé d’un sous-groupe de Borel B et d’un sous-tore maximal T de B. On ne suppose pas que B ou T soient
définis sur F . On appelle paire de Borel épinglée un triplet E = (B, T, (E α ) α∈Δ )
où (B, T ) est une paire de Borel et (E α ) α∈Δ est un épinglage relatif à cette paire.
C’est-à-dire que Δ est l’ensemble des racines simples de T agissant dans l’algèbre
de Lie u du radical unipotent de B et, pour tout α ∈ Δ, E α est un élément non
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Pour g ∈ G, on note ad g l’automorphisme intérieur x → gxg
−1 de G. On note
Z(G) le centre de G et A G le plus grand sous-tore de Z(G) qui soit déployé sur F
(remarquons que A G dépend du corps F ). On pose A G = X ∗ (A G ) ⊗ Z R, avec la
notation X ∗ usuelle. On note G AD le groupe adjoint de G et G SC le revêtement
simplement connexe du groupe dérivé de G. On notera souvent de la même façon
un élément, ou un sous-ensemble, de G SC et son image dans G. Néanmoins, si
besoin est, on notera π : G SC → G l’homomorphisme naturel. Si X est un sousensemble de G, on note X ad son image dans G AD et X sc l’image réciproque de
X ad dans G SC (ce qui n’est pas forcément l’image réciproque de X). On aura
tendance à noter de la même façon deux objets qui se déduisent l’un de l’autre par
fonctorialité. Par exemple, pour g ∈ G, on note encore ad g les automorphismes de
G AD ou de G SC qui se déduisent de l’automorphisme ad g de G.
Soit ˜
G un espace tordu sous G. C’est une variété algébrique sur F . Le groupe
G agit à droite et à gauche sur ˜
G et, pour chaque action, ˜
G est un espace principal homogène sous G. Il y a une application γ → ad γ de ˜
G dans le groupe des
automorphismes de G telle que γg = ad γ (g)γ pour tout g ∈ G. On a l’égalité
ad gγg = ad g ◦ ad γ ◦ ad g pour tous g, g
∈ G et γ ∈ ˜
G. Les actions et applications
ci-dessus sont toutes algébriques et définies sur F . Pour γ ∈ ˜
G, on note Z G (γ)
son commutant dans G (c’est-à-dire l’ensemble des points fixes de ad γ ). On note
G γ = Z G (γ)
0 la composante neutre de ce groupe. L’image de ad γ dans le groupe
des automorphismes extérieurs de G ne dépend pas de γ. D’autre part, l’automorphisme ad γ définit par fonctorialité des automorphismes de divers objets. Quand ils
ne dépendent pas de γ (ou même de γ dans un sous-ensemble indiqué), on note ces
automorphismes θ. Ainsi, il y a un automorphisme θ du centre Z(G). On note A ˜
G
le plus grand tore déployé sur F contenu dans Z(G)
θ . On pose A ˜
G = X ∗ (A ˜
G ) ⊗ R.
On dira que ˜
G est à torsion intérieure si, pour γ ∈ ˜
G, l’automorphisme ad γ
de G est intérieur. En fixant γ et en le multipliant par un élément convenable de
G, on obtient un élément tel que ad γ soit l’identité. Alors l’application gγ → g
identifie ˜
G à G muni de ses actions par multiplication à droite et à gauche. Mais
cet isomorphisme n’est en général défini que sur ¯
F , car on ne peut pas toujours
trouver de γ comme ci-dessus qui appartienne à ˜
G(F ).
Exemple. On fixe un entier n ≥ 1 et un élément d ∈ F
× . On prend G = SL(n) et
˜
G = {g ∈ GL(n); det(g) = d}. Cet espace tordu est trivial sur F si et seulement
si d appartient au groupe F
×,n des puissances n-ièmes dans F
× .
I.1.2 Paires de Borel
On appelle paire de Borel de G un couple (B, T ) formé d’un sous-groupe de Borel B et d’un sous-tore maximal T de B. On ne suppose pas que B ou T soient
définis sur F . On appelle paire de Borel épinglée un triplet E = (B, T, (E α ) α∈Δ )
où (B, T ) est une paire de Borel et (E α ) α∈Δ est un épinglage relatif à cette paire.
C’est-à-dire que Δ est l’ensemble des racines simples de T agissant dans l’algèbre
de Lie u du radical unipotent de B et, pour tout α ∈ Δ, E α est un élément non