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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
endoscopique G
= (G
, G
, ˜
s) étant fixée, pour définir ce transfert d’intégrales orbitales, on doit fixer des données auxiliaires, en particulier un groupe G
1 au-dessus
de G
, et un facteur de transfert pour ces données. Malheureusement, la stabilisation de la formule des traces tordue nécessite de pouvoir changer de données
auxiliaires. La raison en est que si ˜
M est un espace de Levi de ˜
G et M
est une
donnée endoscopique de ˜
M , M
peut apparaître comme «donnée de Levi» de plusieurs données endoscopiques de ˜
G et qu’on ne peut pas assurer que les restrictions
à M
des données auxiliaires affectées à ces diverses données coïncident. Il convient
donc de savoir ce qui se passe quand on change de données auxiliaires. Il s’avère
que les objets construits à l’aide de deux séries de données auxiliaires sont canoniquement isomorphes. Mais alors, il est aussi simple d’éliminer formellement les
données auxiliaires en remplaçant ces objets par leur limite inductive (par ces isomorphismes canoniques) sur toutes les données auxiliaires possibles. C’est ce que
l’on fait en 2.5. Cette présentation permet ensuite de définir naturellement sur ces
objets une action du groupe d’automorphismes de la donnée endoscopique G
, cf.
2.6. Cette action est assez subtile car, dans la situation tordue, ce groupe d’automorphismes contient un sous-groupe qui agit trivialement sur le groupe G
. Mais il
agit sur l’espace des fonctions sur ce groupe par multiplication par des caractères.
La section 3 compare les données endoscopiques d’espaces de Levi avec les
Levi de données endoscopiques. La section 4 décrit exactement l’image du transfert
des intégrales orbitales. La section 5 introduit ce que l’on appelle les distributions
ω-équivariantes «géométriques», qui sont celles dont le support est réduit à une
réunion finie de classes de conjugaison. On a dualement un transfert entre de telles
distributions et on détermine son noyau. On examine aussi le comportement de
ces distributions par descente d’Harish-Chandra. Signalons que, dans le cas d’un
corps archimédien, les résultats des sections 4 et 5 reposent essentiellement sur
ceux de Renard et Shelstad.
Dans la section 6, on traite le cas «non ramifié», où l’on peut définir des
facteurs de transfert canoniques, modulo le choix «d’espaces hyperspéciaux».
Dans la section 7, on suppose que le caractère ω (qui fait partie des données) est unitaire. On montre qu’alors, les facteurs de transfert, quand ils existent,
peuvent être choisis unitaires. On étudie aussi ce qui se passe quand on remplace le
caractère ω par ω
−1 . Les données endoscopiques sont échangées par une construction simple utilisant les automorphismes «antipodes», que l’on reprend d’Arthur
(cf. [20] paragraphe 6).
I.1 Les définitions de base
I.1.1 Groupes et espaces tordus
Soit F un corps de caractéristique nulle, dont on fixe une clôture algébrique ¯
F .
Posons Γ F = Gal( ¯
F /F ). Soit G un groupe algébrique défini sur F , réductif et
connexe. On l’identifie au groupe de ses points sur ¯
F . Le groupe Γ F agit sur G.
Pour σ ∈ Γ F , on note encore σ son action sur G, ou σ G s’il semble bon de préciser.
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
endoscopique G
= (G
, G
, ˜
s) étant fixée, pour définir ce transfert d’intégrales orbitales, on doit fixer des données auxiliaires, en particulier un groupe G
1 au-dessus
de G
, et un facteur de transfert pour ces données. Malheureusement, la stabilisation de la formule des traces tordue nécessite de pouvoir changer de données
auxiliaires. La raison en est que si ˜
M est un espace de Levi de ˜
G et M
est une
donnée endoscopique de ˜
M , M
peut apparaître comme «donnée de Levi» de plusieurs données endoscopiques de ˜
G et qu’on ne peut pas assurer que les restrictions
à M
des données auxiliaires affectées à ces diverses données coïncident. Il convient
donc de savoir ce qui se passe quand on change de données auxiliaires. Il s’avère
que les objets construits à l’aide de deux séries de données auxiliaires sont canoniquement isomorphes. Mais alors, il est aussi simple d’éliminer formellement les
données auxiliaires en remplaçant ces objets par leur limite inductive (par ces isomorphismes canoniques) sur toutes les données auxiliaires possibles. C’est ce que
l’on fait en 2.5. Cette présentation permet ensuite de définir naturellement sur ces
objets une action du groupe d’automorphismes de la donnée endoscopique G
, cf.
2.6. Cette action est assez subtile car, dans la situation tordue, ce groupe d’automorphismes contient un sous-groupe qui agit trivialement sur le groupe G
. Mais il
agit sur l’espace des fonctions sur ce groupe par multiplication par des caractères.
La section 3 compare les données endoscopiques d’espaces de Levi avec les
Levi de données endoscopiques. La section 4 décrit exactement l’image du transfert
des intégrales orbitales. La section 5 introduit ce que l’on appelle les distributions
ω-équivariantes «géométriques», qui sont celles dont le support est réduit à une
réunion finie de classes de conjugaison. On a dualement un transfert entre de telles
distributions et on détermine son noyau. On examine aussi le comportement de
ces distributions par descente d’Harish-Chandra. Signalons que, dans le cas d’un
corps archimédien, les résultats des sections 4 et 5 reposent essentiellement sur
ceux de Renard et Shelstad.
Dans la section 6, on traite le cas «non ramifié», où l’on peut définir des
facteurs de transfert canoniques, modulo le choix «d’espaces hyperspéciaux».
Dans la section 7, on suppose que le caractère ω (qui fait partie des données) est unitaire. On montre qu’alors, les facteurs de transfert, quand ils existent,
peuvent être choisis unitaires. On étudie aussi ce qui se passe quand on remplace le
caractère ω par ω
−1 . Les données endoscopiques sont échangées par une construction simple utilisant les automorphismes «antipodes», que l’on reprend d’Arthur
(cf. [20] paragraphe 6).
I.1 Les définitions de base
I.1.1 Groupes et espaces tordus
Soit F un corps de caractéristique nulle, dont on fixe une clôture algébrique ¯
F .
Posons Γ F = Gal( ¯
F /F ). Soit G un groupe algébrique défini sur F , réductif et
connexe. On l’identifie au groupe de ses points sur ¯
F . Le groupe Γ F agit sur G.
Pour σ ∈ Γ F , on note encore σ son action sur G, ou σ G s’il semble bon de préciser.