Chapitre I
Endoscopie tordue sur un corps local
Introduction
Dans ce chapitre, on présente les définitions et propriétés de base de la théorie de
l’endoscopie tordue sur un corps local de caractéristique nulle, du côté «géométrique», c’est-à-dire du côté des intégrales orbitales.
Ainsi, ce chapitre ne contient guère de résultats originaux. Il reprend largement les travaux fondamentaux de Kottwitz–Shelstad, Labesse et Shelstad sur
la question. On a toutefois modifié sur certains points la présentation de ces auteurs. Donnons un peu plus de détails. La première section donne les définitions
de base des espaces tordus et de leurs données endoscopiques. Les espaces tordus
ont été introduits par Labesse et remplacent, avantageusement nous semble-t-il,
les couples formés d’un groupe connexe et d’un automorphisme de celui-ci. Notons
que, dans le cadre le plus général, on doit aussi associer aux données endoscopiques
des espaces tordus. On en donne en 1.7 une définition parfaitement canonique, ce
qui est l’un des points nouveaux de notre présentation. Un autre point nouveau
est que l’on a fait disparaître le traditionnel groupe quasi-déployé G
∗ . A notre
avis, ce groupe est mal adapté à l’endoscopie tordue, parce qu’il n’y a pas d’espace
tordu ˜
G
∗ . Plus exactement, on peut définir un tel espace tordu, mais il n’y a pas
de correspondance canonique entre les classes de conjugaison stable dans l’espace
de départ ˜
G et les classes de conjugaison stable dans cet espace ˜
G
∗ . Pour étudier
la correspondance entre classes de conjugaison stable dans ˜
G et dans un espace
endoscopique ˜
G
, correspondance qui est parfaitement canonique et équivariante
pour les actions galoisiennes, ce n’est pas un bon point de départ de la décomposer
en deux correspondances entre ˜
G et ˜
G
∗ d’une part, entre ˜
G
∗ et ˜
G
d’autre part,
qui ne sont ni canoniques, ni équivariantes pour les actions galoisiennes. En fait,
le groupe G
∗ sert rarement. Ce qui sert, c’est son tore maximal T
∗ . Mais ce tore
se récupère facilement en utilisant la méthode qu’on a apprise de Deligne : c’est
le tore maximal de G muni de son action galoisienne canonique, cf. 1.2.
Dans la section 2, on récrit la définition des facteurs de transfert d’après
Kottwitz et Shelstad, puis celle du transfert des intégrales orbitales. Une donnée
© Springer International Publishing Switzerland 2016
C. M oeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue,
10.1007/978-3-319-30049-8 _1
Progress in Mathematics 316, DOI
1
Endoscopie tordue sur un corps local
Introduction
Dans ce chapitre, on présente les définitions et propriétés de base de la théorie de
l’endoscopie tordue sur un corps local de caractéristique nulle, du côté «géométrique», c’est-à-dire du côté des intégrales orbitales.
Ainsi, ce chapitre ne contient guère de résultats originaux. Il reprend largement les travaux fondamentaux de Kottwitz–Shelstad, Labesse et Shelstad sur
la question. On a toutefois modifié sur certains points la présentation de ces auteurs. Donnons un peu plus de détails. La première section donne les définitions
de base des espaces tordus et de leurs données endoscopiques. Les espaces tordus
ont été introduits par Labesse et remplacent, avantageusement nous semble-t-il,
les couples formés d’un groupe connexe et d’un automorphisme de celui-ci. Notons
que, dans le cadre le plus général, on doit aussi associer aux données endoscopiques
des espaces tordus. On en donne en 1.7 une définition parfaitement canonique, ce
qui est l’un des points nouveaux de notre présentation. Un autre point nouveau
est que l’on a fait disparaître le traditionnel groupe quasi-déployé G
∗ . A notre
avis, ce groupe est mal adapté à l’endoscopie tordue, parce qu’il n’y a pas d’espace
tordu ˜
G
∗ . Plus exactement, on peut définir un tel espace tordu, mais il n’y a pas
de correspondance canonique entre les classes de conjugaison stable dans l’espace
de départ ˜
G et les classes de conjugaison stable dans cet espace ˜
G
∗ . Pour étudier
la correspondance entre classes de conjugaison stable dans ˜
G et dans un espace
endoscopique ˜
G
, correspondance qui est parfaitement canonique et équivariante
pour les actions galoisiennes, ce n’est pas un bon point de départ de la décomposer
en deux correspondances entre ˜
G et ˜
G
∗ d’une part, entre ˜
G
∗ et ˜
G
d’autre part,
qui ne sont ni canoniques, ni équivariantes pour les actions galoisiennes. En fait,
le groupe G
∗ sert rarement. Ce qui sert, c’est son tore maximal T
∗ . Mais ce tore
se récupère facilement en utilisant la méthode qu’on a apprise de Deligne : c’est
le tore maximal de G muni de son action galoisienne canonique, cf. 1.2.
Dans la section 2, on récrit la définition des facteurs de transfert d’après
Kottwitz et Shelstad, puis celle du transfert des intégrales orbitales. Une donnée
© Springer International Publishing Switzerland 2016
C. M oeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue,
10.1007/978-3-319-30049-8 _1
Progress in Mathematics 316, DOI
1