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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
d’éléments fixes par l’action galoisienne et que l’on a une égalité
ˇ
=
α∈Δmin
ˇ
α
+
α∈Δ
ˇ
α + σ G ∗ (ˇ α)
,
où Δ
est un certain sous-ensemble de Δ − Δ min formé d’éléments α tels que
σ G ∗ (α) = α. Remarquons que, puisque ˇ
ρ est invariant par θ
∗ , ˇ
l’est aussi. Donc
Δ min l’est (ce qui était déjà évident) ainsi que l’ensemble Δ
σ G ∗ (Δ
).
Reprenons les calculs effectués dans le paragraphe précédent. On peut écrire
γ = te, avec t ∈ T et e ∈ Z( ˜
G, E). Comme on l’a dit, on a pour tout σ ∈ Γ R une
égalité
ad u(σ) ◦σ G (e) = z(σ)
−1 e,
avec z(σ) ∈ Z(G) = Z(G SC ). Ou encore
σ G (e) = z(σ)
−1 ad u ∗ (σ) (e) = z(σ)
−1 u
∗ (σ)θ
∗ (u
∗ (σ))
−1 e.
Mais θ
∗ (u
∗ (σ)) = u
∗ (σ). La condition devient simplement σ G (e) = z(σ)
−1 e.
Puisque γ ∈ ˜
G(R), on a σ G (te) = te, ou encore σ G (t) = z(σ)t. Cela entraîne
que l’image t ad de t dans T ad appartient à T ad (R). Mais T ad est elliptique. Donc
T ad (R) est connexe et l’application π : T sc (R) → T ad (R) est surjective. On peut
donc écrire t = t 0 ζ, avec t 0 ∈ T sc (R) et ζ ∈ Z(G SC ). Alors ζe = t
−1
0 γ ∈ ˜
G(R).
Quitte à remplacer e par ζe, on a construit un élément e ∈ Z( ˜
G, E) qui appartient
à ˜
G(R).
Traduisons maintenant ce que l’on cherche. On veut trouver un cocycle ∇ :
Γ R → G SC tel que sa classe dans H
1 (Γ R ; G SC ) soit invariante par θ et tel que
la condition suivante soit vérifiée. Introduisons un groupe G
sur R muni d’un
isomorphisme φ : G
→ G de sorte que φ ◦ σ(φ)
−1 = ad ∇(σ) pour tout σ ∈ Γ R .
Notons P
∗ = M
∗ U
∗ le sous-groupe parabolique standard de G
∗ tel que l’ensemble
de racines simples associé à M
∗ soit Δ min . On veut que P
∗ se transfère à G
.
Comme on l’a dit dans le paragraphe précédent, que ∇ soit un cocycle à valeurs
dans G SC revient à dire que d(∇u
∗ ) = du
∗ . De plus, quand on remplace G par G
,
on remplace u
∗ par ∇u
∗ . La dernière condition ci-dessus signifie que l’image de
∇u
∗ dans G
∗
ad est cohomologue à une cochaîne à valeurs dans M
∗
ad . Traduisons la
condition d’invariance par θ. On se rappelle que cette action θ est l’action ad γ pour
un élément γ ∈ ˜
G(R). On peut choisir pour γ l’élément e fixé ci-dessus. Alors θ =
θ
∗ et la condition signifie qu’il existe g ∈ G SC tel que θ
∗ (∇(σ)) = g∇(σ)σ G (g)
−1
pour tout σ ∈ Γ R . Puisque u
∗ (σ) est fixe par θ
∗ , cette relation équivaut à
θ
∗ (∇(σ)u
∗ (σ)) = g∇(σ)σ G (g)
−1 u
∗ (σ) = g∇(σ)u
∗ (σ)σ G ∗ (g)
−1 .
Supposons trouvée une cochaîne v
∗ : Γ R → M
∗
sc = M
∗ telle que
(4) dv
∗ = du
∗ ;
(5) il existe t ∈ T sc tel que θ
∗ (v
∗ (σ)) = tv
∗ (σ)σ G ∗ (t)
−1 pour tout σ ∈ Γ R .
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
d’éléments fixes par l’action galoisienne et que l’on a une égalité
ˇ
=
α∈Δmin
ˇ
α
+
α∈Δ
ˇ
α + σ G ∗ (ˇ α)
,
où Δ
est un certain sous-ensemble de Δ − Δ min formé d’éléments α tels que
σ G ∗ (α) = α. Remarquons que, puisque ˇ
ρ est invariant par θ
∗ , ˇ
l’est aussi. Donc
Δ min l’est (ce qui était déjà évident) ainsi que l’ensemble Δ
σ G ∗ (Δ
).
Reprenons les calculs effectués dans le paragraphe précédent. On peut écrire
γ = te, avec t ∈ T et e ∈ Z( ˜
G, E). Comme on l’a dit, on a pour tout σ ∈ Γ R une
égalité
ad u(σ) ◦σ G (e) = z(σ)
−1 e,
avec z(σ) ∈ Z(G) = Z(G SC ). Ou encore
σ G (e) = z(σ)
−1 ad u ∗ (σ) (e) = z(σ)
−1 u
∗ (σ)θ
∗ (u
∗ (σ))
−1 e.
Mais θ
∗ (u
∗ (σ)) = u
∗ (σ). La condition devient simplement σ G (e) = z(σ)
−1 e.
Puisque γ ∈ ˜
G(R), on a σ G (te) = te, ou encore σ G (t) = z(σ)t. Cela entraîne
que l’image t ad de t dans T ad appartient à T ad (R). Mais T ad est elliptique. Donc
T ad (R) est connexe et l’application π : T sc (R) → T ad (R) est surjective. On peut
donc écrire t = t 0 ζ, avec t 0 ∈ T sc (R) et ζ ∈ Z(G SC ). Alors ζe = t
−1
0 γ ∈ ˜
G(R).
Quitte à remplacer e par ζe, on a construit un élément e ∈ Z( ˜
G, E) qui appartient
à ˜
G(R).
Traduisons maintenant ce que l’on cherche. On veut trouver un cocycle ∇ :
Γ R → G SC tel que sa classe dans H
1 (Γ R ; G SC ) soit invariante par θ et tel que
la condition suivante soit vérifiée. Introduisons un groupe G
sur R muni d’un
isomorphisme φ : G
→ G de sorte que φ ◦ σ(φ)
−1 = ad ∇(σ) pour tout σ ∈ Γ R .
Notons P
∗ = M
∗ U
∗ le sous-groupe parabolique standard de G
∗ tel que l’ensemble
de racines simples associé à M
∗ soit Δ min . On veut que P
∗ se transfère à G
.
Comme on l’a dit dans le paragraphe précédent, que ∇ soit un cocycle à valeurs
dans G SC revient à dire que d(∇u
∗ ) = du
∗ . De plus, quand on remplace G par G
,
on remplace u
∗ par ∇u
∗ . La dernière condition ci-dessus signifie que l’image de
∇u
∗ dans G
∗
ad est cohomologue à une cochaîne à valeurs dans M
∗
ad . Traduisons la
condition d’invariance par θ. On se rappelle que cette action θ est l’action ad γ pour
un élément γ ∈ ˜
G(R). On peut choisir pour γ l’élément e fixé ci-dessus. Alors θ =
θ
∗ et la condition signifie qu’il existe g ∈ G SC tel que θ
∗ (∇(σ)) = g∇(σ)σ G (g)
−1
pour tout σ ∈ Γ R . Puisque u
∗ (σ) est fixe par θ
∗ , cette relation équivaut à
θ
∗ (∇(σ)u
∗ (σ)) = g∇(σ)σ G (g)
−1 u
∗ (σ) = g∇(σ)u
∗ (σ)σ G ∗ (g)
−1 .
Supposons trouvée une cochaîne v
∗ : Γ R → M
∗
sc = M
∗ telle que
(4) dv
∗ = du
∗ ;
(5) il existe t ∈ T sc tel que θ
∗ (v
∗ (σ)) = tv
∗ (σ)σ G ∗ (t)
−1 pour tout σ ∈ Γ R .