I.3. Levi et image du transfert
73
Alors le cocycle ∇ = v
∗ (u
∗ )
−1 répond à la question.
Pour construire v
∗ , on a besoin de quelques remarques préliminaires concernant les ensembles Δ min et Δ
. Rappelons que Δ min Δ
σ G ∗ (Δ
) est l’ensemble des α ∈ Δ tels que, quand on écrit 2ˇ ρ =
β∈Δ c β β, le coefficient c α soit
impair. Or on sait calculer 2ˇ ρ pour chaque système de racines irréductible. On
renvoie aux tables de Bourbaki ([30]). On s’aperçoit en consultant ces tables que
Δ min Δ
σ G ∗ (Δ
) est formé de racines deux à deux orthogonales. Puisque de
plus, σ G ∗ fixe tout élément de Δ min , il en résulte que M
∗
SC est un produit de
groupes SL(2) indexés par les racines α ∈ Δ min . Introduisons l’élément de plus
grande longueur du groupe de Weyl de M
∗ , que l’on note ω. C’est simplement le
produit des symétries s α associées aux α ∈ Δ min et on a ω(α) = −α pour tout
α ∈ Δ min . Enfin, puisque Δ
σ G ∗ (Δ
) est orthogonal à Δ min , on a ω(α) = α
pour tout α ∈ Δ
σ G ∗ (Δ
).
Introduisons l’élément
x =
α∈Δ
ˇ
α(−1) ∈ T sc .
Définissons la cochaîne v
∗ par v
∗ (1) = 1 et v
∗ (σ) = xn(ω). Elle prend ses valeurs
dans M
∗
sc . On va montrer qu’elle vérifie les conditions (4) et (5).
On a
dv
∗ (σ, σ) = xad n(ω) ◦ σ G ∗ (x)
−1 n(ω)σ G ∗ (n(ω)).
On a σ G ∗ (x) =
α∈Δ σ(ˇ α)(−1). On a vu plus haut que toutes les coracines
intervenant ici sont fixes par ω. D’où
xad n(ω) ◦ σ G ∗ (x)
−1 =
α∈Δ
ˇ
α(−1)σ G ∗ (ˇ α)(−1).
On calcule n(ω)σ G ∗ (n(ω)) comme on a calculé plus haut n(w)σ G ∗ (n(w)). Ce
terme vaut (2 ˇ
ρ
M
∗ )(−1), où 2ˇ ρ
M
∗ est la somme des racines positives dans M
∗ .
Puisque M
∗
SC est un produit de groupes SL(2), on a simplement 2ˇ ρ
M
∗ =
α∈Δmin ˇ
α. Cela conduit à l’égalité
dv
∗ (σ, σ) = ˇ
(−1),
autrement dit
dv
∗ (σ, σ) = du
∗ (σ, σ).
Cela vérifie la condition (4).
On a xσ G ∗ (x) =
α∈Δ σ G ∗ (Δ ) ˇ
α(−1). Or l’ensemble Δ
σ G ∗ (Δ
) est
invariant par θ
∗ . Donc xσ G ∗ (x) est invariant par θ
∗ . Autrement dit, l’élément
y = θ
∗ (x)x
−1 vérifie yσ G ∗ (y) = 1. Considérons le sous-tore T
de T sc tel que
X ∗ (T
) = Δ
σ G ∗ (Δ
), muni de l’action σ → σ G ∗ . C’est un tore induit donc
H
1 (Γ R ; T
) = 0. L’application 1 → 1, σ → y est un cocycle à valeurs dans ce
tore, donc est un cobord. Il existe donc t ∈ T
tel que y = tσ G ∗ (t)
−1 . Parce
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Alors le cocycle ∇ = v
∗ (u
∗ )
−1 répond à la question.
Pour construire v
∗ , on a besoin de quelques remarques préliminaires concernant les ensembles Δ min et Δ
. Rappelons que Δ min Δ
σ G ∗ (Δ
) est l’ensemble des α ∈ Δ tels que, quand on écrit 2ˇ ρ =
β∈Δ c β β, le coefficient c α soit
impair. Or on sait calculer 2ˇ ρ pour chaque système de racines irréductible. On
renvoie aux tables de Bourbaki ([30]). On s’aperçoit en consultant ces tables que
Δ min Δ
σ G ∗ (Δ
) est formé de racines deux à deux orthogonales. Puisque de
plus, σ G ∗ fixe tout élément de Δ min , il en résulte que M
∗
SC est un produit de
groupes SL(2) indexés par les racines α ∈ Δ min . Introduisons l’élément de plus
grande longueur du groupe de Weyl de M
∗ , que l’on note ω. C’est simplement le
produit des symétries s α associées aux α ∈ Δ min et on a ω(α) = −α pour tout
α ∈ Δ min . Enfin, puisque Δ
σ G ∗ (Δ
) est orthogonal à Δ min , on a ω(α) = α
pour tout α ∈ Δ
σ G ∗ (Δ
).
Introduisons l’élément
x =
α∈Δ
ˇ
α(−1) ∈ T sc .
Définissons la cochaîne v
∗ par v
∗ (1) = 1 et v
∗ (σ) = xn(ω). Elle prend ses valeurs
dans M
∗
sc . On va montrer qu’elle vérifie les conditions (4) et (5).
On a
dv
∗ (σ, σ) = xad n(ω) ◦ σ G ∗ (x)
−1 n(ω)σ G ∗ (n(ω)).
On a σ G ∗ (x) =
α∈Δ σ(ˇ α)(−1). On a vu plus haut que toutes les coracines
intervenant ici sont fixes par ω. D’où
xad n(ω) ◦ σ G ∗ (x)
−1 =
α∈Δ
ˇ
α(−1)σ G ∗ (ˇ α)(−1).
On calcule n(ω)σ G ∗ (n(ω)) comme on a calculé plus haut n(w)σ G ∗ (n(w)). Ce
terme vaut (2 ˇ
ρ
M
∗ )(−1), où 2ˇ ρ
M
∗ est la somme des racines positives dans M
∗ .
Puisque M
∗
SC est un produit de groupes SL(2), on a simplement 2ˇ ρ
M
∗ =
α∈Δmin ˇ
α. Cela conduit à l’égalité
dv
∗ (σ, σ) = ˇ
(−1),
autrement dit
dv
∗ (σ, σ) = du
∗ (σ, σ).
Cela vérifie la condition (4).
On a xσ G ∗ (x) =
α∈Δ σ G ∗ (Δ ) ˇ
α(−1). Or l’ensemble Δ
σ G ∗ (Δ
) est
invariant par θ
∗ . Donc xσ G ∗ (x) est invariant par θ
∗ . Autrement dit, l’élément
y = θ
∗ (x)x
−1 vérifie yσ G ∗ (y) = 1. Considérons le sous-tore T
de T sc tel que
X ∗ (T
) = Δ
σ G ∗ (Δ
), muni de l’action σ → σ G ∗ . C’est un tore induit donc
H
1 (Γ R ; T
) = 0. L’application 1 → 1, σ → y est un cocycle à valeurs dans ce
tore, donc est un cobord. Il existe donc t ∈ T
tel que y = tσ G ∗ (t)
−1 . Parce