74
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
que ω opère trivialement sur Δ
σ G ∗ (Δ
), ad v ∗ (σ) fixe T
. On a aussi bien
y = tad v ∗ (σ) ◦ σ G ∗ (t)
−1 . Autrement dit
θ
∗ (x)x
−1 = tv
∗ (σ)σ G ∗ (t)
−1 v
∗ (σ)
−1 ,
ou encore
θ
∗ (x)x
−1 v
∗ (σ) = tv
∗ (σ)σ G ∗ (t)
−1 ,
ou encore
θ
∗ (x)n(ω) = tv
∗ (σ)σ G ∗ (t)
−1 ,
ou encore
θ
∗ (v
∗ (σ)) = tv
∗ (σ)σ G ∗ (t)
−1 ,
puisque n(ω) est fixe par θ
∗ . La relation précédente équivaut à (5). Cela achève
la démonstration.
I.4 Stabilité et image du transfert
I.4.1 Rappels sur la descente d’Harish-Chandra et
la transformation de Fourier
Le corps F est de nouveau un corps local quelconque de caractéristique nulle.
Dans les premiers paragraphes, on fixe des mesures de Haar pour se débarrasser
des espaces de mesures.
Oublions pour un temps les espaces tordus, c’est-à-dire supposons ˜
G = G,
mais conservons le caractère ω. Un certain nombre de définitions se descendent aux
algèbres de Lie, par exemple les intégrales orbitales. On utilise pour ces algèbres
des notations analogues à celles pour les groupes.
On introduit une transformation de Fourier f → ˆ
f dans l’espace C
∞
c (g(F ))
relative à un bicaractère invariant par conjugaison par G(F ) (en appelant conjugaison l’action adjointe). Cette transformation de Fourier conserve le noyau de
l’homomorphisme C
∞
c (g(F )) → I(g(F ), ω), donc passe au quotient en une transformation f → ˆ
f dans I(g(F ), ω). D’autre part, pour tout Levi M de G, on a une
égalité ( ˆ
f ) M,ω = (f M,ω )ˆ. Cela entraîne que la transformation de Fourier conserve
le sous-espace C
∞
cusp (g(F ), ω) ⊂ C
∞
c (g(F )) des fonctions f telles que f M,ω = 0
dans I(m(F ), ω) pour tout Levi propre M de G.
Les propriétés suivantes résultent d’une part de la conjecture de Howe (qui
n’est plus une conjecture depuis longtemps), ou plutôt de sa variante concernant les
intégrales orbitales tordues par ω, d’autre part de l’intégrabilité des transformées
de Fourier d’intégrales orbitales.
Soit u un ouvert de g reg (F ) dont l’adhérence contienne un voisinage de 0.
Alors
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
que ω opère trivialement sur Δ
σ G ∗ (Δ
), ad v ∗ (σ) fixe T
. On a aussi bien
y = tad v ∗ (σ) ◦ σ G ∗ (t)
−1 . Autrement dit
θ
∗ (x)x
−1 = tv
∗ (σ)σ G ∗ (t)
−1 v
∗ (σ)
−1 ,
ou encore
θ
∗ (x)x
−1 v
∗ (σ) = tv
∗ (σ)σ G ∗ (t)
−1 ,
ou encore
θ
∗ (x)n(ω) = tv
∗ (σ)σ G ∗ (t)
−1 ,
ou encore
θ
∗ (v
∗ (σ)) = tv
∗ (σ)σ G ∗ (t)
−1 ,
puisque n(ω) est fixe par θ
∗ . La relation précédente équivaut à (5). Cela achève
la démonstration.
I.4 Stabilité et image du transfert
I.4.1 Rappels sur la descente d’Harish-Chandra et
la transformation de Fourier
Le corps F est de nouveau un corps local quelconque de caractéristique nulle.
Dans les premiers paragraphes, on fixe des mesures de Haar pour se débarrasser
des espaces de mesures.
Oublions pour un temps les espaces tordus, c’est-à-dire supposons ˜
G = G,
mais conservons le caractère ω. Un certain nombre de définitions se descendent aux
algèbres de Lie, par exemple les intégrales orbitales. On utilise pour ces algèbres
des notations analogues à celles pour les groupes.
On introduit une transformation de Fourier f → ˆ
f dans l’espace C
∞
c (g(F ))
relative à un bicaractère invariant par conjugaison par G(F ) (en appelant conjugaison l’action adjointe). Cette transformation de Fourier conserve le noyau de
l’homomorphisme C
∞
c (g(F )) → I(g(F ), ω), donc passe au quotient en une transformation f → ˆ
f dans I(g(F ), ω). D’autre part, pour tout Levi M de G, on a une
égalité ( ˆ
f ) M,ω = (f M,ω )ˆ. Cela entraîne que la transformation de Fourier conserve
le sous-espace C
∞
cusp (g(F ), ω) ⊂ C
∞
c (g(F )) des fonctions f telles que f M,ω = 0
dans I(m(F ), ω) pour tout Levi propre M de G.
Les propriétés suivantes résultent d’une part de la conjecture de Howe (qui
n’est plus une conjecture depuis longtemps), ou plutôt de sa variante concernant les
intégrales orbitales tordues par ω, d’autre part de l’intégrabilité des transformées
de Fourier d’intégrales orbitales.
Soit u un ouvert de g reg (F ) dont l’adhérence contienne un voisinage de 0.
Alors