I.4. Stabilité et image du transfert
75
(1) si F est non-archimédien, pour tout f ∈ C
∞
c (g(F )), il existe f
∈ C
∞
c (u) telle
que les intégrales orbitales de f et de ˆ
f
coïncident dans un voisinage de 0.
Notons g(F ) ell le sous-ensemble des éléments semi-simples réguliers et elliptiques dans g(F ). Alors
(2) si F est non-archimédien, pour tout f ∈ C
∞
cusp (g(F ), ω), il existe f
∈ C
∞
c (u∩
g(F ) ell ) telle que les intégrales orbitales de f et de ˆ
f
coïncident dans un
voisinage de 0.
Supposons donné un groupe Ξ d’automorphismes de G, définis sur F et
conservant le caractère ω. Supposons que l’image de Ξ dans le groupe d’automorphismes extérieurs de G soit finie. On peut supposer que le bicaractère utilisé
pour définir la transformation de Fourier est invariant par Ξ. Alors la transformation de Fourier est équivariante pour l’action de Ξ. Dans les assertions précédentes,
si l’on suppose que u est invariant par Ξ et que l’image de f dans I(g(F ), ω) est
fixe par Ξ, on peut imposer qu’il en est de même de celle de f
.
Revenons au cas général (on ne suppose plus ˜
G = G). Soient η ∈ ˜
G ss (F ) et
u un voisinage ouvert de 0 dans g η (F ) vérifiant les deux conditions suivantes
– u est invariant par conjugaison par Z G (η, F ) ;
– si X ∈ u, alors sa partie semi-simple X ss appartient à u.
On va énoncer des propriétés qui sont vraies pourvu que u soit assez petit.
En particulier, on suppose u assez petit pour que l’exponentielle y soit définie. On
pose U η = exp(u) ⊂ G η (F ). Notons ˜
U l’ensemble des éléments de ˜
G(F ) qui sont
conjugués par un élément de G(F ) à un élément de U η η. C’est un ouvert de ˜
G(F ).
Notons I( ˜
U , ω) l’image de C
∞
c ( ˜
U ) dans I( ˜
G(F ), ω), I(U η , ω) celle de C
∞
c (U η ) dans
I(G η (F ), ω) et I(u, ω) celle de C
∞
c (u) dans I(g η (F ), ω). L’exponentielle établit
un isomorphisme entre I(U η , ω) et I(u, ω). Remarquons que le groupe Z G (η; F )
agit naturellement sur I(G η (F ), ω) et I(g η (F ), ω). Définissons une correspondance
entre C
∞
c ( ˜
U ) et C
∞
c (U η ) par : f ∈ C
∞
c ( ˜
U ) et φ ∈ C
∞
c (U η ) se correspondent
si et seulement si on a l’égalité I
˜
G (xη, ω, f) = I
Gη (x, ω, φ) pour tout élément
régulier x ∈ U η tel que xη soit fortement régulier dans ˜
G (il est sous-entendu
que les mesures sur G xη (F ) = (G η ) x (F ) qui interviennent dans la définition de
ces intégrales orbitales sont les mêmes pour les deux intégrales). La théorie de la
descente affirme que cette correspondance se quotiente en un isomorphisme
desc
˜
G
η : I( ˜
U , ω) → I(U η , ω)
ZG(η;F ) ,
où, selon l’usage, l’exposant Z G (η; F ) désigne le sous-espace d’invariants par ce
groupe. Via l’exponentielle, on peut aussi considérer que desc
˜
G
η prend ses valeurs
dans I(u, ω)
ZG(η,F ) .
Supposons η elliptique. Alors le même résultat vaut pour les fonctions cuspidales. C’est-à-dire, définissons
C
∞
cusp ( ˜
U ) = C
∞
cusp ( ˜
G(F )) ∩ C
∞
c ( ˜
U ),
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(1) si F est non-archimédien, pour tout f ∈ C
∞
c (g(F )), il existe f
∈ C
∞
c (u) telle
que les intégrales orbitales de f et de ˆ
f
coïncident dans un voisinage de 0.
Notons g(F ) ell le sous-ensemble des éléments semi-simples réguliers et elliptiques dans g(F ). Alors
(2) si F est non-archimédien, pour tout f ∈ C
∞
cusp (g(F ), ω), il existe f
∈ C
∞
c (u∩
g(F ) ell ) telle que les intégrales orbitales de f et de ˆ
f
coïncident dans un
voisinage de 0.
Supposons donné un groupe Ξ d’automorphismes de G, définis sur F et
conservant le caractère ω. Supposons que l’image de Ξ dans le groupe d’automorphismes extérieurs de G soit finie. On peut supposer que le bicaractère utilisé
pour définir la transformation de Fourier est invariant par Ξ. Alors la transformation de Fourier est équivariante pour l’action de Ξ. Dans les assertions précédentes,
si l’on suppose que u est invariant par Ξ et que l’image de f dans I(g(F ), ω) est
fixe par Ξ, on peut imposer qu’il en est de même de celle de f
.
Revenons au cas général (on ne suppose plus ˜
G = G). Soient η ∈ ˜
G ss (F ) et
u un voisinage ouvert de 0 dans g η (F ) vérifiant les deux conditions suivantes
– u est invariant par conjugaison par Z G (η, F ) ;
– si X ∈ u, alors sa partie semi-simple X ss appartient à u.
On va énoncer des propriétés qui sont vraies pourvu que u soit assez petit.
En particulier, on suppose u assez petit pour que l’exponentielle y soit définie. On
pose U η = exp(u) ⊂ G η (F ). Notons ˜
U l’ensemble des éléments de ˜
G(F ) qui sont
conjugués par un élément de G(F ) à un élément de U η η. C’est un ouvert de ˜
G(F ).
Notons I( ˜
U , ω) l’image de C
∞
c ( ˜
U ) dans I( ˜
G(F ), ω), I(U η , ω) celle de C
∞
c (U η ) dans
I(G η (F ), ω) et I(u, ω) celle de C
∞
c (u) dans I(g η (F ), ω). L’exponentielle établit
un isomorphisme entre I(U η , ω) et I(u, ω). Remarquons que le groupe Z G (η; F )
agit naturellement sur I(G η (F ), ω) et I(g η (F ), ω). Définissons une correspondance
entre C
∞
c ( ˜
U ) et C
∞
c (U η ) par : f ∈ C
∞
c ( ˜
U ) et φ ∈ C
∞
c (U η ) se correspondent
si et seulement si on a l’égalité I
˜
G (xη, ω, f) = I
Gη (x, ω, φ) pour tout élément
régulier x ∈ U η tel que xη soit fortement régulier dans ˜
G (il est sous-entendu
que les mesures sur G xη (F ) = (G η ) x (F ) qui interviennent dans la définition de
ces intégrales orbitales sont les mêmes pour les deux intégrales). La théorie de la
descente affirme que cette correspondance se quotiente en un isomorphisme
desc
˜
G
η : I( ˜
U , ω) → I(U η , ω)
ZG(η;F ) ,
où, selon l’usage, l’exposant Z G (η; F ) désigne le sous-espace d’invariants par ce
groupe. Via l’exponentielle, on peut aussi considérer que desc
˜
G
η prend ses valeurs
dans I(u, ω)
ZG(η,F ) .
Supposons η elliptique. Alors le même résultat vaut pour les fonctions cuspidales. C’est-à-dire, définissons
C
∞
cusp ( ˜
U ) = C
∞
cusp ( ˜
G(F )) ∩ C
∞
c ( ˜
U ),