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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
notons I cusp ( ˜
U , ω) son image dans I cusp ( ˜
G(F ), ω) et définissons de même C
∞
cusp (U η )
et I cusp (U η , ω). L’application précédente se restreint en un isomorphisme
desc
˜
G
η : I cusp ( ˜
U , ω) → I cusp (U η , ω)
ZG(η;F ) .
I.4.2 Filtration de I( ˜
G(F ), ω)
L’espace ˜
G et le corps F sont quelconques. Pour un entier n ≥ −1, notons
F
n I( ˜
G(F ), ω) l’espace des f ∈ I( ˜
G(F ), ω) tels que f ˜
M,ω = 0 pour tout espace
de Levi ˜
M tel que a ˜
M > n. C’est aussi l’espace des f ∈ I( ˜
G(F ), ω) qui vérifient
la condition
(1) pour tout γ ∈ ˜
G reg (F ) tel que dim(A Gγ ) > n, on a I
˜
G (γ, ω, f ) = 0.
Ces espaces forment une filtration
{0} = F
a ˜
G −1 I( ˜
G(F ), ω) ⊂ I cusp ( ˜
G(F ), ω)
= F
a ˜
G ( ˜
G(F ), ω) ⊂ F
a ˜
G +1 ( ˜
G(F ), ω) ⊂ · · · ⊂ I( ˜
G(F ), ω)
= F
a ˜
M 0 ( ˜
G(F ), ω),
où ˜
M 0 est un espace de Levi minimal. On note GrI( ˜
G(F ), ω) l’espace gradué
associé à cette filtration. Fixons un ensemble de représentants L des classes de
conjugaison par G(F ) d’espaces de Levi de ˜
G. Notons L
n le sous-ensemble des
˜
M ∈ L tels que a ˜
M = n. L’application
F
n I( ˜
G(F ), ω) → ⊕ ˜
M∈L n I( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M )
f
→
(f ˜
M,ω ) ˜
M ∈L n
se quotiente en un homomorphisme injectif
Gr
n I( ˜
G(F ), ω) = F
n I( ˜
G(F ), ω)/F
n−1 I( ˜
G(F ), ω)
→ ⊕ ˜
M ∈L n I cusp ( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M ) .
Lemme. Cet homomorphisme est bijectif.
Preuve. Dans le cas où F est réel, l’assertion est prouvée par Bouaziz ([29], théorème 3.3.1) dans le cadre non tordu et par Renard ([69] théorème 11.2) dans le
cadre tordu mais pour ω = 1. La preuve de Renard s’étend au cas ω quelconque.
En effet, un argument de descente nous ramène à une question analogue pour l’algèbre de Lie. Introduisons le groupe G = Z(G)
0
× G SC et l’espace I(g (F )) des
intégrales orbitales relatives à ce groupe et à son caractère trivial. Il y a un homomorphisme π : G (F ) → G(F ) de conoyau fini et ω se factorise par ce conoyau.
D’autre part, G et G ont même algèbre de Lie. Le conoyau G(F )/π (G (F )) agit
naturellement sur I(g (F )). Alors notre espace I(g(F ), ω) d’intégrales orbitales
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
notons I cusp ( ˜
U , ω) son image dans I cusp ( ˜
G(F ), ω) et définissons de même C
∞
cusp (U η )
et I cusp (U η , ω). L’application précédente se restreint en un isomorphisme
desc
˜
G
η : I cusp ( ˜
U , ω) → I cusp (U η , ω)
ZG(η;F ) .
I.4.2 Filtration de I( ˜
G(F ), ω)
L’espace ˜
G et le corps F sont quelconques. Pour un entier n ≥ −1, notons
F
n I( ˜
G(F ), ω) l’espace des f ∈ I( ˜
G(F ), ω) tels que f ˜
M,ω = 0 pour tout espace
de Levi ˜
M tel que a ˜
M > n. C’est aussi l’espace des f ∈ I( ˜
G(F ), ω) qui vérifient
la condition
(1) pour tout γ ∈ ˜
G reg (F ) tel que dim(A Gγ ) > n, on a I
˜
G (γ, ω, f ) = 0.
Ces espaces forment une filtration
{0} = F
a ˜
G −1 I( ˜
G(F ), ω) ⊂ I cusp ( ˜
G(F ), ω)
= F
a ˜
G ( ˜
G(F ), ω) ⊂ F
a ˜
G +1 ( ˜
G(F ), ω) ⊂ · · · ⊂ I( ˜
G(F ), ω)
= F
a ˜
M 0 ( ˜
G(F ), ω),
où ˜
M 0 est un espace de Levi minimal. On note GrI( ˜
G(F ), ω) l’espace gradué
associé à cette filtration. Fixons un ensemble de représentants L des classes de
conjugaison par G(F ) d’espaces de Levi de ˜
G. Notons L
n le sous-ensemble des
˜
M ∈ L tels que a ˜
M = n. L’application
F
n I( ˜
G(F ), ω) → ⊕ ˜
M∈L n I( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M )
f
→
(f ˜
M,ω ) ˜
M ∈L n
se quotiente en un homomorphisme injectif
Gr
n I( ˜
G(F ), ω) = F
n I( ˜
G(F ), ω)/F
n−1 I( ˜
G(F ), ω)
→ ⊕ ˜
M ∈L n I cusp ( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M ) .
Lemme. Cet homomorphisme est bijectif.
Preuve. Dans le cas où F est réel, l’assertion est prouvée par Bouaziz ([29], théorème 3.3.1) dans le cadre non tordu et par Renard ([69] théorème 11.2) dans le
cadre tordu mais pour ω = 1. La preuve de Renard s’étend au cas ω quelconque.
En effet, un argument de descente nous ramène à une question analogue pour l’algèbre de Lie. Introduisons le groupe G = Z(G)
0
× G SC et l’espace I(g (F )) des
intégrales orbitales relatives à ce groupe et à son caractère trivial. Il y a un homomorphisme π : G (F ) → G(F ) de conoyau fini et ω se factorise par ce conoyau.
D’autre part, G et G ont même algèbre de Lie. Le conoyau G(F )/π (G (F )) agit
naturellement sur I(g (F )). Alors notre espace I(g(F ), ω) d’intégrales orbitales