I.4. Stabilité et image du transfert
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tordues par ω s’identifie au sous-espace de I(g (F )) où ce conoyau agit par le
caractère ω. Passer à un tel sous-espace est une opération à peu près triviale et
tous les résultats voulus pour I(g(F ), ω) se déduisent ainsi de ceux concernant
I(g (F )).
Le cas où F = C se ramène au cas F = R en remplaçant les groupes et les
espaces par leurs images par restriction des scalaires de C à R.
On suppose maintenant F non-archimédien. On doit prouver la surjectivité
de l’homomorphisme. On va d’abord prouver un analogue partiel pour les algèbres
de Lie. Supposons pour un moment que ˜
G = G. On a de même une filtration sur
I(g(F ), ω) et un homomorphisme injectif
Gr
n I(g(F ), ω) = F
n I(g(F ), ω)/F
n−1 I(g(F ), ω) → ⊕ M∈L n I cusp (m(F ), ω)
W ( ˜
M ) .
Montrons que :
(2) pour tout élément (f
m ) M∈L n ∈ ⊕ M∈L n I cusp (m(F ), ω)
W (M) , il existe ϕ ∈
F
n I(g(F ), ω) tel que, pour tout M ∈ L
n , les intégrales orbitales de ϕ et de
f
m coïncident dans un voisinage de 0 dans m(F ).
On peut fixer M ∈ L
n et supposer f
m
= 0 pour tout M
∈ L
n différent de
M . En fixant un bicaractère invariant par conjugaison de g(F ), on introduit une
transformation de Fourier dans C
∞
c (g(F )), cf. 4.1. On a de même des transformations de Fourier dans C
∞
c (l(F )) pour tout Levi L de G. D’après 4.1(2), on peut
fixer f
∈ C
∞
c (m(F )) telle que
– son support est formé d’éléments elliptiques dans m(F ) et réguliers dans
g(F ) ;
– les intégrales orbitales de f
m et de ˆ
f
coïncident dans un voisinage de 0.
En remplaçant f
par la moyenne de ses conjugués par un ensemble de représentants de W (M ), on peut supposer l’image de f
dans I(m(F ), ω) invariante par
W (M ). Parce que le support de f
est formé d’éléments réguliers, on n’a aucun
mal à trouver une fonction ϕ
∈ C
∞
c (g(F )) telle que
– ϕ
M,ω = f
dans I(m(F ), ω) ;
– le support de ϕ
est un voisinage assez petit dans g(F ) de celui de f
.
Cette deuxième condition implique que le support de ϕ
est formé d’éléments
réguliers dans g(F ) et conjugués par G(F ) à des éléments elliptiques de m(F ). Si
M
est un Levi de G, un tel élément ne peut appartenir à m
(F ) que si M
contient
un conjugué de M . A fortiori ϕ
M ,ω = 0 si M
ne vérifie pas cette condition
Posons ϕ = ˆ
ϕ
. On a ϕ M,ω = ˆ
f
, donc les intégrales orbitales de ϕ et de f
m
coïncident dans un voisinage de 0 dans m(F ). Soit M
un Levi de G qui vérifie soit
a M > n, soit a M = n et M
n’est pas conjugué à M . Alors ϕ M ,ω = (ϕ
M ,ω )ˆ= 0.
Cela entraîne que ϕ ∈ F
n I(g(F ), ω) et que ϕ M ,ω = 0 pour tout M
∈ L différent
de M . Alors ϕ satisfait les conditions de (2).
Supposons de plus qu’un groupe Ξ agit sur G par automorphismes définis
sur F en conservant le caractère ω. Supposons que l’image de Ξ dans le groupe
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tordues par ω s’identifie au sous-espace de I(g (F )) où ce conoyau agit par le
caractère ω. Passer à un tel sous-espace est une opération à peu près triviale et
tous les résultats voulus pour I(g(F ), ω) se déduisent ainsi de ceux concernant
I(g (F )).
Le cas où F = C se ramène au cas F = R en remplaçant les groupes et les
espaces par leurs images par restriction des scalaires de C à R.
On suppose maintenant F non-archimédien. On doit prouver la surjectivité
de l’homomorphisme. On va d’abord prouver un analogue partiel pour les algèbres
de Lie. Supposons pour un moment que ˜
G = G. On a de même une filtration sur
I(g(F ), ω) et un homomorphisme injectif
Gr
n I(g(F ), ω) = F
n I(g(F ), ω)/F
n−1 I(g(F ), ω) → ⊕ M∈L n I cusp (m(F ), ω)
W ( ˜
M ) .
Montrons que :
(2) pour tout élément (f
m ) M∈L n ∈ ⊕ M∈L n I cusp (m(F ), ω)
W (M) , il existe ϕ ∈
F
n I(g(F ), ω) tel que, pour tout M ∈ L
n , les intégrales orbitales de ϕ et de
f
m coïncident dans un voisinage de 0 dans m(F ).
On peut fixer M ∈ L
n et supposer f
m
= 0 pour tout M
∈ L
n différent de
M . En fixant un bicaractère invariant par conjugaison de g(F ), on introduit une
transformation de Fourier dans C
∞
c (g(F )), cf. 4.1. On a de même des transformations de Fourier dans C
∞
c (l(F )) pour tout Levi L de G. D’après 4.1(2), on peut
fixer f
∈ C
∞
c (m(F )) telle que
– son support est formé d’éléments elliptiques dans m(F ) et réguliers dans
g(F ) ;
– les intégrales orbitales de f
m et de ˆ
f
coïncident dans un voisinage de 0.
En remplaçant f
par la moyenne de ses conjugués par un ensemble de représentants de W (M ), on peut supposer l’image de f
dans I(m(F ), ω) invariante par
W (M ). Parce que le support de f
est formé d’éléments réguliers, on n’a aucun
mal à trouver une fonction ϕ
∈ C
∞
c (g(F )) telle que
– ϕ
M,ω = f
dans I(m(F ), ω) ;
– le support de ϕ
est un voisinage assez petit dans g(F ) de celui de f
.
Cette deuxième condition implique que le support de ϕ
est formé d’éléments
réguliers dans g(F ) et conjugués par G(F ) à des éléments elliptiques de m(F ). Si
M
est un Levi de G, un tel élément ne peut appartenir à m
(F ) que si M
contient
un conjugué de M . A fortiori ϕ
M ,ω = 0 si M
ne vérifie pas cette condition
Posons ϕ = ˆ
ϕ
. On a ϕ M,ω = ˆ
f
, donc les intégrales orbitales de ϕ et de f
m
coïncident dans un voisinage de 0 dans m(F ). Soit M
un Levi de G qui vérifie soit
a M > n, soit a M = n et M
n’est pas conjugué à M . Alors ϕ M ,ω = (ϕ
M ,ω )ˆ= 0.
Cela entraîne que ϕ ∈ F
n I(g(F ), ω) et que ϕ M ,ω = 0 pour tout M
∈ L différent
de M . Alors ϕ satisfait les conditions de (2).
Supposons de plus qu’un groupe Ξ agit sur G par automorphismes définis
sur F en conservant le caractère ω. Supposons que l’image de Ξ dans le groupe