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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
d’automorphismes extérieurs de G est fini. Supposons les transformations de Fourier équivariantes pour cette action. L’action du groupe Ξ conserve la filtration
(F
n I(g(F ), ω)) n∈N . Il agit naturellement sur l’espace ⊕ M∈L n I cusp (m(F ), ω)
W ( ˜
M )
(un élément ξ ∈ Ξ envoie le terme indexé par M sur celui indexé par l’unique
élément de L
n conjugué à ξ(M )). En prenant les invariants par Ξ, on obtient un
homomorphisme
Gr
n I(g(F ), ω)
Ξ = F
n I(g(F ), ω)
Ξ /F
n−1 I(g(F ), ω)
Ξ
→ (⊕ M∈L n I cusp (m(F ), ω)
W ( ˜
M ) )
Ξ .
On peut aussi bien remplacer ici Ξ par son image finie dans le groupe des automorphismes de G quotienté par celui des automorphismes intérieurs définis par
des éléments de G(F ). En moyennant sur ce groupe fini, on obtient pour cet homomorphisme une assertion analogue à (2).
Revenons à l’assertion du lemme. Un argument familier de partition de l’unité
nous ramène à prouver l’assertion suivante :
(3) soient ˜
M ∈ L
n , f ∈ I cusp ( ˜
M (F ),ω)
W ( ˜
M) et η ∈ ˜
M ss (F ) ; alors il existe ϕ ∈
F
n I( ˜
G(F ), ω) tel que
– ϕ ˜
M ,ω = 0 pour tout ˜
M
∈ L
n différent de ˜
M ;
– les intégrales orbitales de f et ϕ coincident dans un voisinage de η dans
˜
M (F ).
Fixons donc ˜
M ∈ L
n , f ∈ I cusp ( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M ) et η ∈ ˜
M ss (F ). Si η n’est pas
elliptique dans ˜
M , les intégrales orbitales de f sont nulles au voisinage de η par
cuspidalité de f et la fonction ϕ = 0 résout la question. On suppose maintenant η
elliptique dans ˜
M (F ). Fixons un voisinage u de 0 dans g η (F ), ouvert et fermé et
vérifiant les conditions de 4.1. Posons u M = u ∩ m η (F ). On déduit de u et u M des
ouverts ˜
U ⊂ ˜
G(F ) et ˜
U M ⊂ ˜
M (F ). Posons F
n I( ˜
U , ω) = I( ˜
U , ω) ∩ F
n I( ˜
G(F ), ω),
F
n I(u, F ) = I(u, ω) ∩ F
n I(g η (F ), ω). La descente nous fournit un isomorphisme
I( ˜
U , ω) I(u, ω)
ZG(η;F ) . Celui-ci se restreint en un isomorphisme
(4)
F
n ( ˜
U , ω) F
n (u, ω)
ZG(η;F ) .
C’est clair en utilisant la caractérisation (1) des filtrations. Par ailleurs, la descente
nous fournit un isomorphisme
I cusp ( ˜
U M , ω) I cusp (u M , ω)
ZM (η;F ) .
Notons f loc l’image par cet isomorphisme de la restriction de f à ˜
U M .
Soit Norm( ˜
M, η; F ) l’intersection de Z G (η; F ) avec le normalisateur de ˜
M
dans G. Ce groupe est égal au normalisateur de M η dans Z G (η; F ) : un élément
de Z G (η; F ) normalise ˜
M ou M η si et seulement s’il normalise A ˜
M = A Mη . Parce
que f est invariante par W ( ˜
M ), f loc est invariante par Norm( ˜
M , η; F ). Notons
L
n
η l’analogue de L
n pour le groupe G η . Pour R ∈ L
n
η , on définit un élément
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
d’automorphismes extérieurs de G est fini. Supposons les transformations de Fourier équivariantes pour cette action. L’action du groupe Ξ conserve la filtration
(F
n I(g(F ), ω)) n∈N . Il agit naturellement sur l’espace ⊕ M∈L n I cusp (m(F ), ω)
W ( ˜
M )
(un élément ξ ∈ Ξ envoie le terme indexé par M sur celui indexé par l’unique
élément de L
n conjugué à ξ(M )). En prenant les invariants par Ξ, on obtient un
homomorphisme
Gr
n I(g(F ), ω)
Ξ = F
n I(g(F ), ω)
Ξ /F
n−1 I(g(F ), ω)
Ξ
→ (⊕ M∈L n I cusp (m(F ), ω)
W ( ˜
M ) )
Ξ .
On peut aussi bien remplacer ici Ξ par son image finie dans le groupe des automorphismes de G quotienté par celui des automorphismes intérieurs définis par
des éléments de G(F ). En moyennant sur ce groupe fini, on obtient pour cet homomorphisme une assertion analogue à (2).
Revenons à l’assertion du lemme. Un argument familier de partition de l’unité
nous ramène à prouver l’assertion suivante :
(3) soient ˜
M ∈ L
n , f ∈ I cusp ( ˜
M (F ),ω)
W ( ˜
M) et η ∈ ˜
M ss (F ) ; alors il existe ϕ ∈
F
n I( ˜
G(F ), ω) tel que
– ϕ ˜
M ,ω = 0 pour tout ˜
M
∈ L
n différent de ˜
M ;
– les intégrales orbitales de f et ϕ coincident dans un voisinage de η dans
˜
M (F ).
Fixons donc ˜
M ∈ L
n , f ∈ I cusp ( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M ) et η ∈ ˜
M ss (F ). Si η n’est pas
elliptique dans ˜
M , les intégrales orbitales de f sont nulles au voisinage de η par
cuspidalité de f et la fonction ϕ = 0 résout la question. On suppose maintenant η
elliptique dans ˜
M (F ). Fixons un voisinage u de 0 dans g η (F ), ouvert et fermé et
vérifiant les conditions de 4.1. Posons u M = u ∩ m η (F ). On déduit de u et u M des
ouverts ˜
U ⊂ ˜
G(F ) et ˜
U M ⊂ ˜
M (F ). Posons F
n I( ˜
U , ω) = I( ˜
U , ω) ∩ F
n I( ˜
G(F ), ω),
F
n I(u, F ) = I(u, ω) ∩ F
n I(g η (F ), ω). La descente nous fournit un isomorphisme
I( ˜
U , ω) I(u, ω)
ZG(η;F ) . Celui-ci se restreint en un isomorphisme
(4)
F
n ( ˜
U , ω) F
n (u, ω)
ZG(η;F ) .
C’est clair en utilisant la caractérisation (1) des filtrations. Par ailleurs, la descente
nous fournit un isomorphisme
I cusp ( ˜
U M , ω) I cusp (u M , ω)
ZM (η;F ) .
Notons f loc l’image par cet isomorphisme de la restriction de f à ˜
U M .
Soit Norm( ˜
M, η; F ) l’intersection de Z G (η; F ) avec le normalisateur de ˜
M
dans G. Ce groupe est égal au normalisateur de M η dans Z G (η; F ) : un élément
de Z G (η; F ) normalise ˜
M ou M η si et seulement s’il normalise A ˜
M = A Mη . Parce
que f est invariante par W ( ˜
M ), f loc est invariante par Norm( ˜
M , η; F ). Notons
L
n
η l’analogue de L
n pour le groupe G η . Pour R ∈ L
n
η , on définit un élément