I.4. Stabilité et image du transfert
79
f
r
∈ I cusp (l(F ), ω) de la façon suivante. Si R n’est pas conjugué à M η par un
élément de Z G (η; F ), on pose f
r = 0. Si R est conjugué à M η par un élément de
Z G (η; F ), on fixe un tel élément x. L’automorphisme ad x définit un isomorphisme
de I cusp (m η (F ), ω) sur I cusp (r(F ), ω) et f
l
η est l’image de f loc par cet isomorphisme. La propriété d’invariance ci-dessus montre que cette définition ne dépend
pas du choix de x. La famille (f
r ) R∈L n η appartient à ⊕ R∈L n η I cusp (r(F ), ω)
W
Gη (R)
et, par construction, elle est invariante par l’action de Z G (η; F ). En appliquant
l’assertion (2) renforcée comme on l’a expliqué ci-dessus, on choisit un élément
ϕ loc ∈ F
n I(g(F ), ω)
ZG(η;F ) satisfaisant la conclusion de (2). En utilisant (4), on
relève ϕ loc en un élément ϕ
de F
n ( ˜
U , ω). Considérons un voisinage u
de 0 dans
g η (F ) vérifiant les mêmes conditions que u. On en déduit un voisinage ˜
U
de η
dans ˜
G(F ). Notons ϕ le produit de ϕ
et de la fonction caractéristique de ˜
U
. On
va montrer que, si u
est assez petit, ϕ vérifie (3). Cette fonction appartient à
F
n ( ˜
U , ω), cet espace étant évidemment stable par multiplication par la fonction
caractéristique d’un ensemble ouvert et fermé et invariant par conjugaison par
G(F ). Pour X ∈ m η (F ) assez proche de 0, on a
I
˜
G (exp(X)η, ω, ϕ) = I
˜
G (exp(X)η, ω, ϕ
) = I
Gη (X, ω, ϕ loc )
= I
Mη (X, ω, f loc )
= I
˜
M (exp(X)η, ω, f ),
ce qui est la dernière condition requise. Soient ˜
M
∈ L
n différent de ˜
M et γ un
élément ˜
G-régulier de ˜
M
(F ). On doit montrer que I
˜
G (γ, ω, ϕ) = 0. C’est clair si
γ ∈ ˜
U
. Supposons γ ∈ ˜
U
. On peut alors écrire γ = g
−1 exp(X)ηg, avec g ∈ G(F )
et X ∈ u
. Quitte à changer g, on peut conjuguer X par un élément de G η (F ) et
supposer X assez proche de 0. Posons ˜
M
= g ˜
M
g
−1 . Puisque γ ∈ ˜
M
(F ), on a
exp(X)η ∈ ˜
M
(F ). Donc A ˜
M ⊂ Z G (exp(X)η). Pour X assez petit, ce commutant
est inclus dans Z G (η). Alors η ∈ ˜
M
(F ), puis X ∈ m
η (F ). On a comme ci-dessus
ω(g)I
˜
G (g
−1 exp(X)ηg, ω, ϕ) = I
˜
G (exp(X)η, ω, ϕ
)
= I
Gη (X, ω, ϕ loc )
= I
M
η (X, ω, ϕ loc,M
η ,ω ).
On a A ˜
M ⊂ A M
η
. Si cette inclusion est stricte, dim(A M
η
) > n et les intégrales
orbitales ci-dessus sont nulles puisque ϕ loc ∈ F
n I(g η (F ), ω). Si l’inclusion ci-dessus
est une égalité, M
η est conjugué par G η (F ) à un élément de L
n
η et il résulte de
notre construction que les intégrales ci-dessus sont encore nulles sauf si M
η est
conjugué à M η par un élément de Z G (η; F ). Il reste à exclure cette possibilité.
Mais, parce que l’on a à la fois A ˜
M = A M
η
et A ˜
M = A Mη , dire que M
η et M η
sont conjugués par un élément de Z G (η; F ) revient à dire que ˜
M
et ˜
M le sont.
Puisque ˜
M
et ˜
M
sont conjugués par g, cela est exclu par notre hypothèse que
˜
M
n’est conjugué à ˜
M par aucun élément de G(F ).
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f
r
∈ I cusp (l(F ), ω) de la façon suivante. Si R n’est pas conjugué à M η par un
élément de Z G (η; F ), on pose f
r = 0. Si R est conjugué à M η par un élément de
Z G (η; F ), on fixe un tel élément x. L’automorphisme ad x définit un isomorphisme
de I cusp (m η (F ), ω) sur I cusp (r(F ), ω) et f
l
η est l’image de f loc par cet isomorphisme. La propriété d’invariance ci-dessus montre que cette définition ne dépend
pas du choix de x. La famille (f
r ) R∈L n η appartient à ⊕ R∈L n η I cusp (r(F ), ω)
W
Gη (R)
et, par construction, elle est invariante par l’action de Z G (η; F ). En appliquant
l’assertion (2) renforcée comme on l’a expliqué ci-dessus, on choisit un élément
ϕ loc ∈ F
n I(g(F ), ω)
ZG(η;F ) satisfaisant la conclusion de (2). En utilisant (4), on
relève ϕ loc en un élément ϕ
de F
n ( ˜
U , ω). Considérons un voisinage u
de 0 dans
g η (F ) vérifiant les mêmes conditions que u. On en déduit un voisinage ˜
U
de η
dans ˜
G(F ). Notons ϕ le produit de ϕ
et de la fonction caractéristique de ˜
U
. On
va montrer que, si u
est assez petit, ϕ vérifie (3). Cette fonction appartient à
F
n ( ˜
U , ω), cet espace étant évidemment stable par multiplication par la fonction
caractéristique d’un ensemble ouvert et fermé et invariant par conjugaison par
G(F ). Pour X ∈ m η (F ) assez proche de 0, on a
I
˜
G (exp(X)η, ω, ϕ) = I
˜
G (exp(X)η, ω, ϕ
) = I
Gη (X, ω, ϕ loc )
= I
Mη (X, ω, f loc )
= I
˜
M (exp(X)η, ω, f ),
ce qui est la dernière condition requise. Soient ˜
M
∈ L
n différent de ˜
M et γ un
élément ˜
G-régulier de ˜
M
(F ). On doit montrer que I
˜
G (γ, ω, ϕ) = 0. C’est clair si
γ ∈ ˜
U
. Supposons γ ∈ ˜
U
. On peut alors écrire γ = g
−1 exp(X)ηg, avec g ∈ G(F )
et X ∈ u
. Quitte à changer g, on peut conjuguer X par un élément de G η (F ) et
supposer X assez proche de 0. Posons ˜
M
= g ˜
M
g
−1 . Puisque γ ∈ ˜
M
(F ), on a
exp(X)η ∈ ˜
M
(F ). Donc A ˜
M ⊂ Z G (exp(X)η). Pour X assez petit, ce commutant
est inclus dans Z G (η). Alors η ∈ ˜
M
(F ), puis X ∈ m
η (F ). On a comme ci-dessus
ω(g)I
˜
G (g
−1 exp(X)ηg, ω, ϕ) = I
˜
G (exp(X)η, ω, ϕ
)
= I
Gη (X, ω, ϕ loc )
= I
M
η (X, ω, ϕ loc,M
η ,ω ).
On a A ˜
M ⊂ A M
η
. Si cette inclusion est stricte, dim(A M
η
) > n et les intégrales
orbitales ci-dessus sont nulles puisque ϕ loc ∈ F
n I(g η (F ), ω). Si l’inclusion ci-dessus
est une égalité, M
η est conjugué par G η (F ) à un élément de L
n
η et il résulte de
notre construction que les intégrales ci-dessus sont encore nulles sauf si M
η est
conjugué à M η par un élément de Z G (η; F ). Il reste à exclure cette possibilité.
Mais, parce que l’on a à la fois A ˜
M = A M
η
et A ˜
M = A Mη , dire que M
η et M η
sont conjugués par un élément de Z G (η; F ) revient à dire que ˜
M
et ˜
M le sont.
Puisque ˜
M
et ˜
M
sont conjugués par g, cela est exclu par notre hypothèse que
˜
M
n’est conjugué à ˜
M par aucun élément de G(F ).