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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
I.4.3 Image de la restriction
Pour un espace de Levi ˜
M de ˜
G, on note res ˜
M l’homomorphisme
I( ˜
G(F ), ω) → I( ˜
M (F ), ω)
f
→
f ˜
M,ω ,
ou sa variante envoyant I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) dans I( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )).
Soit ( ˜
M j ) j=1,...,k une famille finie d’espaces de Levi de ˜
G. Considérons l’application
linéaire
res = ⊕ j=1,...,k res ˜
Mj : I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F ))
→ ⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (F ), ω) ⊗ Mes(M j (F )).
Lemme. L’image de res est l’espace des (ϕ j ) j=1,...,k ∈ ⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (F ), ω) ⊗
Mes(M j (F )) qui vérifient les conditions équivalentes suivantes :
(i) soient j, j
∈ {1, . . . , k}, γ ∈ ˜
M j (F ) et γ
∈ ˜
M j (F ) deux éléments ˜
G-réguliers
et soit g ∈ G(F ) tel que γ
= gγg
−1 ; munissons G γ (F ) et G γ (F ) de mesures
de Haar se correspondant par ad g ; alors I
˜
M j (γ
,ω,ϕ j )= ω(g)I
˜
Mj (γ,ω,ϕ j ) ;
(ii) soient j, j
∈ {1, . . . , k}, ˜
R un espace de Levi de ˜
M j et ˜
R
un espace de Levi de
˜
M j et soit g ∈ G(F ) tel que ˜
R
= ad g ( ˜
R) ; alors ϕ ˜
R ,ω est l’image de ϕ ˜
R,ω
par l’isomorphisme I( ˜
R, ω) ⊗ Mes(R(F )) → I( ˜
R
, ω) ⊗ Mes(R
(F )) déduit
de ad g .
Remarque. Dans (i), la donnée de γ et d’une mesure de Haar sur G γ (F ) définit
une intégrale orbitale qui est naturellement une forme linéaire sur I( ˜
M j (F ), ω) ⊗
Mes(M j (F )).
Preuve. Pour simplifier les notations, on oublie les espaces de mesures. Il est clair
que les deux conditions de l’énoncé sont équivalentes et qu’elles sont vérifiées sur
les éléments de l’image de res. Posons
I = ⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (F ), ω)
et, pour tout n,
F
n I = ⊕ j=1,...,k F
n I( ˜
M j (F ), ω).
Notons J le sous-espace des (ϕ j ) j=1,...,k ∈ I satisfaisant les conditions (i) ou (ii).
Il est clair que res envoie F
n I( ˜
G(F ), ω) dans F
n I, donc aussi dans J ∩ F
n I. Donc
res définit une application
(1)
Gr
n I( ˜
G(F ), ω) → (J ∩ F
n I)/(J ∩ F
n−1 I).
On va montrer qu’elle est surjective. L’espace de départ est isomorphe à
(2)
⊕ ˜
L∈L n I cusp ( ˜
L(F ), ω)
W ( ˜
L)
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
I.4.3 Image de la restriction
Pour un espace de Levi ˜
M de ˜
G, on note res ˜
M l’homomorphisme
I( ˜
G(F ), ω) → I( ˜
M (F ), ω)
f
→
f ˜
M,ω ,
ou sa variante envoyant I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) dans I( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )).
Soit ( ˜
M j ) j=1,...,k une famille finie d’espaces de Levi de ˜
G. Considérons l’application
linéaire
res = ⊕ j=1,...,k res ˜
Mj : I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F ))
→ ⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (F ), ω) ⊗ Mes(M j (F )).
Lemme. L’image de res est l’espace des (ϕ j ) j=1,...,k ∈ ⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (F ), ω) ⊗
Mes(M j (F )) qui vérifient les conditions équivalentes suivantes :
(i) soient j, j
∈ {1, . . . , k}, γ ∈ ˜
M j (F ) et γ
∈ ˜
M j (F ) deux éléments ˜
G-réguliers
et soit g ∈ G(F ) tel que γ
= gγg
−1 ; munissons G γ (F ) et G γ (F ) de mesures
de Haar se correspondant par ad g ; alors I
˜
M j (γ
,ω,ϕ j )= ω(g)I
˜
Mj (γ,ω,ϕ j ) ;
(ii) soient j, j
∈ {1, . . . , k}, ˜
R un espace de Levi de ˜
M j et ˜
R
un espace de Levi de
˜
M j et soit g ∈ G(F ) tel que ˜
R
= ad g ( ˜
R) ; alors ϕ ˜
R ,ω est l’image de ϕ ˜
R,ω
par l’isomorphisme I( ˜
R, ω) ⊗ Mes(R(F )) → I( ˜
R
, ω) ⊗ Mes(R
(F )) déduit
de ad g .
Remarque. Dans (i), la donnée de γ et d’une mesure de Haar sur G γ (F ) définit
une intégrale orbitale qui est naturellement une forme linéaire sur I( ˜
M j (F ), ω) ⊗
Mes(M j (F )).
Preuve. Pour simplifier les notations, on oublie les espaces de mesures. Il est clair
que les deux conditions de l’énoncé sont équivalentes et qu’elles sont vérifiées sur
les éléments de l’image de res. Posons
I = ⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (F ), ω)
et, pour tout n,
F
n I = ⊕ j=1,...,k F
n I( ˜
M j (F ), ω).
Notons J le sous-espace des (ϕ j ) j=1,...,k ∈ I satisfaisant les conditions (i) ou (ii).
Il est clair que res envoie F
n I( ˜
G(F ), ω) dans F
n I, donc aussi dans J ∩ F
n I. Donc
res définit une application
(1)
Gr
n I( ˜
G(F ), ω) → (J ∩ F
n I)/(J ∩ F
n−1 I).
On va montrer qu’elle est surjective. L’espace de départ est isomorphe à
(2)
⊕ ˜
L∈L n I cusp ( ˜
L(F ), ω)
W ( ˜
L)