I.4. Stabilité et image du transfert
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tandis que l’espace d’arrivée est inclus dans
(3)
Gr
n I ⊕ j=1,...,k ⊕ ˜
R∈L
˜
M j ,n I cusp ( ˜
R(F ), ω)
W
M j ( ˜
R) .
L’image dans l’espace (2) de (J ∩F
n I)/(J ∩F
n−1 I) est contenu dans le sous-espace
des éléments vérifiant la condition (ii) restreinte aux espaces de Levi ˜
R ∈ L
˜
Mj ,n
et ˜
R
∈ L
˜
M j ,n . Pour un élément (ϕ
˜
R
j ) j=1,...,k, ˜
R∈L
˜
M j ,n vérifiant cette condition, on
définit un élément (f
˜
L ) ˜
L∈L n de l’espace (2) de la façon suivante. Soit ˜
L ∈ L
n .
S’il n’existe pas de j ∈ {1, . . . , k} et de ˜
R ∈ L
˜
Mj ,n tel que ˜
L soit conjugué à ˜
R
par un élément de G(F ), on pose f
˜
L = 0. Si au contraire il existe un tel couple
(j, ˜
R), on en fixe un et on choisit un élément g tel que ad g ( ˜
R) = ˜
L. Alors f
˜
L est
l’image de ϕ
˜
R par l’isomorphisme déduit de ad g . La condition (ii) entraîne que
cela ne dépend pas des choix et que la fonction f
˜
L est bien invariante par W ( ˜
L).
Il est clair que (ϕ
˜
R
j ) j=1,...,k, ˜
R∈L
˜
M j ,n est l’image de (f
˜
L ) ˜
L∈L n par la composée de
l’application (1) et de l’inclusion de son espace d’arrivée dans l’espace (3). Cela
démontre la surjectivité de l’application (1)
Par récurrence sur n, on en déduit que l’application
res : F
n I( ˜
G(F ), ω) → J ∩ F
n I
est surjective. Pour n grand, cela signifie que J est bien l’image de l’application res.
I.4.4 Conjugaison stable
On a déjà rappelé la notion de conjugaison stable pour les éléments de ˜
G reg (F ) :
deux éléments de cet ensemble sont stablement conjugués si et seulement s’ils sont
conjugués par un élément de G = G( ¯
F ). Pour un élément η ∈ ˜
G ss (F ), on note
I η = G η Z(G)
θ et on pose
Y(η) = {y ∈ G; ∀σ ∈ Γ F , yσ(y)
−1
∈ I η }.
Pour deux éléments η, η
∈ ˜
G ss (F ), on appelle diagramme joignant η et η
un
sextuplet (η, B, T, B
, T
, η
) tel que
(1) (B, T ) et (B
, T
) sont des paires de Borel de G ;
(2) ad η conserve (B, T ) et ad η conserve (B
, T
) ;
(3) T et T
sont définis sur F et l’isomorphisme ξ T,T : T → T
issu des deux
paires est équivariant pour les actions galoisiennes ;
complétons les deux paires en des paires de Borel épinglées E et E
, écrivons
η = te, avec t ∈ T et e ∈ Z( ˜
G, E) et écrivons de même η
= t
e
; on impose que e
et e
aient même image dans Z( ˜
G) ; alors
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tandis que l’espace d’arrivée est inclus dans
(3)
Gr
n I ⊕ j=1,...,k ⊕ ˜
R∈L
˜
M j ,n I cusp ( ˜
R(F ), ω)
W
M j ( ˜
R) .
L’image dans l’espace (2) de (J ∩F
n I)/(J ∩F
n−1 I) est contenu dans le sous-espace
des éléments vérifiant la condition (ii) restreinte aux espaces de Levi ˜
R ∈ L
˜
Mj ,n
et ˜
R
∈ L
˜
M j ,n . Pour un élément (ϕ
˜
R
j ) j=1,...,k, ˜
R∈L
˜
M j ,n vérifiant cette condition, on
définit un élément (f
˜
L ) ˜
L∈L n de l’espace (2) de la façon suivante. Soit ˜
L ∈ L
n .
S’il n’existe pas de j ∈ {1, . . . , k} et de ˜
R ∈ L
˜
Mj ,n tel que ˜
L soit conjugué à ˜
R
par un élément de G(F ), on pose f
˜
L = 0. Si au contraire il existe un tel couple
(j, ˜
R), on en fixe un et on choisit un élément g tel que ad g ( ˜
R) = ˜
L. Alors f
˜
L est
l’image de ϕ
˜
R par l’isomorphisme déduit de ad g . La condition (ii) entraîne que
cela ne dépend pas des choix et que la fonction f
˜
L est bien invariante par W ( ˜
L).
Il est clair que (ϕ
˜
R
j ) j=1,...,k, ˜
R∈L
˜
M j ,n est l’image de (f
˜
L ) ˜
L∈L n par la composée de
l’application (1) et de l’inclusion de son espace d’arrivée dans l’espace (3). Cela
démontre la surjectivité de l’application (1)
Par récurrence sur n, on en déduit que l’application
res : F
n I( ˜
G(F ), ω) → J ∩ F
n I
est surjective. Pour n grand, cela signifie que J est bien l’image de l’application res.
I.4.4 Conjugaison stable
On a déjà rappelé la notion de conjugaison stable pour les éléments de ˜
G reg (F ) :
deux éléments de cet ensemble sont stablement conjugués si et seulement s’ils sont
conjugués par un élément de G = G( ¯
F ). Pour un élément η ∈ ˜
G ss (F ), on note
I η = G η Z(G)
θ et on pose
Y(η) = {y ∈ G; ∀σ ∈ Γ F , yσ(y)
−1
∈ I η }.
Pour deux éléments η, η
∈ ˜
G ss (F ), on appelle diagramme joignant η et η
un
sextuplet (η, B, T, B
, T
, η
) tel que
(1) (B, T ) et (B
, T
) sont des paires de Borel de G ;
(2) ad η conserve (B, T ) et ad η conserve (B
, T
) ;
(3) T et T
sont définis sur F et l’isomorphisme ξ T,T : T → T
issu des deux
paires est équivariant pour les actions galoisiennes ;
complétons les deux paires en des paires de Borel épinglées E et E
, écrivons
η = te, avec t ∈ T et e ∈ Z( ˜
G, E) et écrivons de même η
= t
e
; on impose que e
et e
aient même image dans Z( ˜
G) ; alors