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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
(4) ξ T,T (t) ∈ t
(1 − θ
)(T
), où θ
est l’automorphisme de T
déterminé par E
.
On voit que la condition (4) ne dépend pas des choix auxiliaires.
Dans le cas où η et η
sont fortement réguliers, on montre comme au lemme
1.10(i) qu’il existe un diagramme joignant η et η
si et seulement si ces deux éléments sont stablement conjugués. En général, considérons les conditions suivantes :
(st1) il existe y ∈ Y(η) tel que η
= y
−1 ηy ;
(st2) il existe un diagramme (η, B, T, B
, T
, η
) ;
(st3) il existe un diagramme (η, B, T, B
, T
, η
) tel que
(st3) (a) si F est non archimédien, T
θ,0 est elliptique dans G η (c’est-à-dire
T
θ,0 /Z(G η ) ne contient pas de sous-tore déployé non trivial) et (T
)
θ
,0 est
elliptique dans G η ;
(st3) (b) si F est réel, T
θ,0 est fondamental dans G η et (T
)
θ
,0 est fondamental
dans G η ;
(st4) (η, η
) appartient à l’adhérence dans ˜
G(F )× ˜
G(F ) de l’ensemble des couples
(γ, γ
) ∈ ˜
G reg (F ) × ˜
G reg (F ) tels que γ et γ
sont stablement conjugués.
Lemme. Les conditions (st1) à (st4) ci-dessus sont équivalentes.
Preuve. La même preuve qu’au lemme 1.10(ii) montre l’équivalence de (st2) et
(st4).
Supposons (st2) vérifiée et fixons un diagramme (η, B, T, B
, T
, η
). On complète les paires de Borel en des paires épinglées et on écrit η et η
comme en (4).
Soit x ∈ G tel que ad x envoie E sur E
. Les éléments e et ad x (e) ont par définition
même image dans Z( ˜
G). L’hypothèse de (4) est que e
et e ont même image dans
Z( ˜
G). Cela signifie que, quitte à multiplier x par un élément de Z(G), on peut
supposer ad x (e) = e
. L’isomorphisme ξ T,T n’est autre que la restriction à T de
ad x . D’après (4), on peut donc écrire ad x (t) = t
(1 − θ
)(t
), avec un t
∈ T
.
Alors xηx
−1 = t
η
(t
)
−1 . Posons y = x
−1 t
. On a y
−1 ηy = η
. L’isomorphisme
ξ T,T est encore la restriction de ad y . Puisqu’il est défini sur F , yσ(y)
−1 commute
à T , donc appartient à T , pour tout σ ∈ Γ F . L’égalité y
−1 ηy = η
et le fait que η
et η
appartiennent à ˜
G(F ) entraînent que yσ(y)
−1 appartient aussi à Z G (η). Or
T ∩ Z G (η) ⊂ I η ([79] 3.1(1)). Donc y ∈ Y(η) et (st1) est vérifiée.
Supposons (st1) vérifiée, fixons y ∈ Y(η) tel que y
−1 ηy = η
. Fixons, ainsi
qu’il est loisible, une paire de Borel (B, T ) conservée par ad η , telle que T soit défini
sur F et T
θ,0 soit elliptique dans G η si F est non archimédien, ou fondamental si
F = R. L’automorphisme ad y −1 envoie G η sur G η et l’hypothèse que y appartient
à Y(η) entraîne que sa restriction à G η est un torseur intérieur entre ces deux
groupes. On sait qu’un tore elliptique, ou fondamental, se transfère à toute forme
intérieure (et son transfert est encore elliptique ou fondamental). Quitte à multiplier y à droite par un élément de G η , on peut donc supposer que ad y −1 (T
θ,0 ) est
défini sur F et que la restriction de ad y −1 : T
θ,0
→ ad y −1 (T
θ,0 ) est définie sur F .
Posons B
= ad y −1 (B), T
= ad y −1 (T ). Puisque T est le commutant de T
θ,0 , les
propriétés précédentes impliquent que T est défini sur F et que ad y −1 : T → T
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
(4) ξ T,T (t) ∈ t
(1 − θ
)(T
), où θ
est l’automorphisme de T
déterminé par E
.
On voit que la condition (4) ne dépend pas des choix auxiliaires.
Dans le cas où η et η
sont fortement réguliers, on montre comme au lemme
1.10(i) qu’il existe un diagramme joignant η et η
si et seulement si ces deux éléments sont stablement conjugués. En général, considérons les conditions suivantes :
(st1) il existe y ∈ Y(η) tel que η
= y
−1 ηy ;
(st2) il existe un diagramme (η, B, T, B
, T
, η
) ;
(st3) il existe un diagramme (η, B, T, B
, T
, η
) tel que
(st3) (a) si F est non archimédien, T
θ,0 est elliptique dans G η (c’est-à-dire
T
θ,0 /Z(G η ) ne contient pas de sous-tore déployé non trivial) et (T
)
θ
,0 est
elliptique dans G η ;
(st3) (b) si F est réel, T
θ,0 est fondamental dans G η et (T
)
θ
,0 est fondamental
dans G η ;
(st4) (η, η
) appartient à l’adhérence dans ˜
G(F )× ˜
G(F ) de l’ensemble des couples
(γ, γ
) ∈ ˜
G reg (F ) × ˜
G reg (F ) tels que γ et γ
sont stablement conjugués.
Lemme. Les conditions (st1) à (st4) ci-dessus sont équivalentes.
Preuve. La même preuve qu’au lemme 1.10(ii) montre l’équivalence de (st2) et
(st4).
Supposons (st2) vérifiée et fixons un diagramme (η, B, T, B
, T
, η
). On complète les paires de Borel en des paires épinglées et on écrit η et η
comme en (4).
Soit x ∈ G tel que ad x envoie E sur E
. Les éléments e et ad x (e) ont par définition
même image dans Z( ˜
G). L’hypothèse de (4) est que e
et e ont même image dans
Z( ˜
G). Cela signifie que, quitte à multiplier x par un élément de Z(G), on peut
supposer ad x (e) = e
. L’isomorphisme ξ T,T n’est autre que la restriction à T de
ad x . D’après (4), on peut donc écrire ad x (t) = t
(1 − θ
)(t
), avec un t
∈ T
.
Alors xηx
−1 = t
η
(t
)
−1 . Posons y = x
−1 t
. On a y
−1 ηy = η
. L’isomorphisme
ξ T,T est encore la restriction de ad y . Puisqu’il est défini sur F , yσ(y)
−1 commute
à T , donc appartient à T , pour tout σ ∈ Γ F . L’égalité y
−1 ηy = η
et le fait que η
et η
appartiennent à ˜
G(F ) entraînent que yσ(y)
−1 appartient aussi à Z G (η). Or
T ∩ Z G (η) ⊂ I η ([79] 3.1(1)). Donc y ∈ Y(η) et (st1) est vérifiée.
Supposons (st1) vérifiée, fixons y ∈ Y(η) tel que y
−1 ηy = η
. Fixons, ainsi
qu’il est loisible, une paire de Borel (B, T ) conservée par ad η , telle que T soit défini
sur F et T
θ,0 soit elliptique dans G η si F est non archimédien, ou fondamental si
F = R. L’automorphisme ad y −1 envoie G η sur G η et l’hypothèse que y appartient
à Y(η) entraîne que sa restriction à G η est un torseur intérieur entre ces deux
groupes. On sait qu’un tore elliptique, ou fondamental, se transfère à toute forme
intérieure (et son transfert est encore elliptique ou fondamental). Quitte à multiplier y à droite par un élément de G η , on peut donc supposer que ad y −1 (T
θ,0 ) est
défini sur F et que la restriction de ad y −1 : T
θ,0
→ ad y −1 (T
θ,0 ) est définie sur F .
Posons B
= ad y −1 (B), T
= ad y −1 (T ). Puisque T est le commutant de T
θ,0 , les
propriétés précédentes impliquent que T est défini sur F et que ad y −1 : T → T