I.4. Stabilité et image du transfert
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l’est aussi. Évidemment, ad η conserve (B
, T
). On complète nos paires en des
paires épinglées et on écrit η et η
comme en (4). Soit x ∈ G qui envoie E
sur
E. Comme ci-dessus, on peut imposer que ad x (e
) = e. Puisque ad y −1 et ad x −1
envoient tous deux (B, T ) sur (B
, T
), on peut écrire y = xt
, avec un t
∈ T
.
L’égalité ad y −1 (η) = η
entraîne que ad x −1 (t) = t
(1 − θ
)(t
). Puisque ξ T,T est la
restriction de ad x −1 à T , on obtient (4). Donc (η, B, T, B
, T
, η
) est un diagramme
vérifiant les conditions supplémentaires de (st3).
Enfin, (st3) implique évidemment (st2).
Définition. On dit que η et η
sont stablement conjugués si et seulement si les
conditions (st1),. . .,(st4) sont vérifiées.
I.4.5 Conjugaison stable et application N
˜
G
Lemme. Soient η, η
deux éléments stablement conjugués de ˜
G ss (F ). Alors on a
l’égalité N
˜
G (η) = N
˜
G (η
) dans ˜
G 0,ab (F ).
Preuve. On fixe une paire de Borel E, on écrit η = π(x)e, avec x ∈ G SC et
e ∈ Z( ˜
G, E). On pose θ = ad e . L’élément N
˜
G (η) est l’image dans ˜
G 0,ab (F ) du
cocycle
(¯ ν, ¯
e) ∈ Z
1,0 (Γ F ; Z(G SC ) Z( ˜
G)), où ν(σ) = θ(u E (σ))x
−1 σ(x)u E (σ)
−1
(les ¯ désignent les images dans Z(G SC ) ou Z( ˜
G)). Soit y ∈ Y(η) tel que η
=
y
−1 ηy. Ecrivons y = zπ(v), avec z ∈ Z(G) et v ∈ G SC . Alors η
= π(x
)e
, avec
x
= v
−1 xθ(v), e
= z
−1 θ(z)e. L’élément N
˜
G (η
) est l’image du cocycle (¯ ν
, ¯
e
), où
ν
(σ) = θ(u E (σ))θ(v)
−1 x
−1 vσ(v)
−1 σ(x)σ(θ(v))u E (σ)
−1 .
Introduisons l’action quasi-déployée σ → σ G ∗ = ad uE (σ) ◦σ qui préserve E. Puisque
e ∈ Z( ˜
G, E), θ = ad e est fixe pour cette action. Donc
u E (σ)σ(θ(v))u E (σ)
−1 = θ(u E (σ))θ(σ(v))θ(u E (σ))
−1 .
Puisque ν
est à valeurs centrales, on peut aussi bien conjuguer ν
(σ) par cette
expression et on obtient
ν
(σ) = θ(u E (σ))θ(σ(v)v
−1 )x
−1 vσ(v)
−1 σ(x)u E (σ)
−1 .
L’hypothèse y ∈ Y(η) entraîne que π(vσ(v)
−1 ) ∈ Z(G)G η , a fortiori v ad σ(v ad )
−1
∈
G AD,η . Mais G SC,η s’envoie surjectivement sur G AD,η . Donc
vσ(v)
−1
∈ Z(G SC )G SC,η .
Ecrivons vσ(v)
−1 = ζ(σ)g(σ), avec ζ(σ) ∈ Z(G SC ) et g(σ) ∈ G SC,η . Cette dernière
relation signifie que xθ(g(σ))x
−1 = g(σ). On calcule alors
ν
(σ) = θ(ζ(σ))
−1 ζ(σ)ν(σ).
Donc ¯
ν
= ¯
ν. On a aussi ¯
e
= ¯
e et le lemme s’ensuit.
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l’est aussi. Évidemment, ad η conserve (B
, T
). On complète nos paires en des
paires épinglées et on écrit η et η
comme en (4). Soit x ∈ G qui envoie E
sur
E. Comme ci-dessus, on peut imposer que ad x (e
) = e. Puisque ad y −1 et ad x −1
envoient tous deux (B, T ) sur (B
, T
), on peut écrire y = xt
, avec un t
∈ T
.
L’égalité ad y −1 (η) = η
entraîne que ad x −1 (t) = t
(1 − θ
)(t
). Puisque ξ T,T est la
restriction de ad x −1 à T , on obtient (4). Donc (η, B, T, B
, T
, η
) est un diagramme
vérifiant les conditions supplémentaires de (st3).
Enfin, (st3) implique évidemment (st2).
Définition. On dit que η et η
sont stablement conjugués si et seulement si les
conditions (st1),. . .,(st4) sont vérifiées.
I.4.5 Conjugaison stable et application N
˜
G
Lemme. Soient η, η
deux éléments stablement conjugués de ˜
G ss (F ). Alors on a
l’égalité N
˜
G (η) = N
˜
G (η
) dans ˜
G 0,ab (F ).
Preuve. On fixe une paire de Borel E, on écrit η = π(x)e, avec x ∈ G SC et
e ∈ Z( ˜
G, E). On pose θ = ad e . L’élément N
˜
G (η) est l’image dans ˜
G 0,ab (F ) du
cocycle
(¯ ν, ¯
e) ∈ Z
1,0 (Γ F ; Z(G SC ) Z( ˜
G)), où ν(σ) = θ(u E (σ))x
−1 σ(x)u E (σ)
−1
(les ¯ désignent les images dans Z(G SC ) ou Z( ˜
G)). Soit y ∈ Y(η) tel que η
=
y
−1 ηy. Ecrivons y = zπ(v), avec z ∈ Z(G) et v ∈ G SC . Alors η
= π(x
)e
, avec
x
= v
−1 xθ(v), e
= z
−1 θ(z)e. L’élément N
˜
G (η
) est l’image du cocycle (¯ ν
, ¯
e
), où
ν
(σ) = θ(u E (σ))θ(v)
−1 x
−1 vσ(v)
−1 σ(x)σ(θ(v))u E (σ)
−1 .
Introduisons l’action quasi-déployée σ → σ G ∗ = ad uE (σ) ◦σ qui préserve E. Puisque
e ∈ Z( ˜
G, E), θ = ad e est fixe pour cette action. Donc
u E (σ)σ(θ(v))u E (σ)
−1 = θ(u E (σ))θ(σ(v))θ(u E (σ))
−1 .
Puisque ν
est à valeurs centrales, on peut aussi bien conjuguer ν
(σ) par cette
expression et on obtient
ν
(σ) = θ(u E (σ))θ(σ(v)v
−1 )x
−1 vσ(v)
−1 σ(x)u E (σ)
−1 .
L’hypothèse y ∈ Y(η) entraîne que π(vσ(v)
−1 ) ∈ Z(G)G η , a fortiori v ad σ(v ad )
−1
∈
G AD,η . Mais G SC,η s’envoie surjectivement sur G AD,η . Donc
vσ(v)
−1
∈ Z(G SC )G SC,η .
Ecrivons vσ(v)
−1 = ζ(σ)g(σ), avec ζ(σ) ∈ Z(G SC ) et g(σ) ∈ G SC,η . Cette dernière
relation signifie que xθ(g(σ))x
−1 = g(σ). On calcule alors
ν
(σ) = θ(ζ(σ))
−1 ζ(σ)ν(σ).
Donc ¯
ν
= ¯
ν. On a aussi ¯
e
= ¯
e et le lemme s’ensuit.