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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
I.4.6 Description locale des classes de conjugaison stable
Pour η ∈ ˜
G ss (F ), fixons un ensemble de représentants ˙
Y(η) de l’ensemble de
doubles classes I η \Y(η)/G(F ). L’application qui à y ∈ ˙
Y(η) associe la classe de
conjugaison par G(F ) de η[y] = y
−1 ηy est une surjection de ˙
Y(η) sur l’ensemble
des classes de conjugaison par G(F ) contenues dans la classe de conjugaison stable
de η. En général, elle n’est pas injective. C’est toutefois le cas si η est fortement
régulier.
Soit η ∈ ˜
G ss (F ). Fixons une forme quasi-déployée ¯
G de G η . On peut, si on
veut, fixer un torseur intérieur entre ces deux groupes. Nous préférons dire que
nous fixons une identification entre la paire de Borel épinglée de ¯
G et celle de G η .
Pour tout y ∈ Y(η), l’automorphisme ad y −1 permet d’identifier la paire de Borel
épinglée de G η et celle de G η[y] , d’où une identification de cette dernière avec celle
de ¯
G. Il y a donc une correspondance entre classes de conjugaison stable semisimples dans G η[y] (F ) et classes de conjugaison stable semi-simples dans ¯
G(F ).
D’autre part, les groupes Z G (η[y])/I η[y] s’identifient de façon équivariante pour
les actions. On note Ξ ce groupe commun. On le fait agir sur ¯
G de sorte que cette
action conserve une paire de Borel épinglée définie sur F fixée. Cette action est
fidèle (seul l’élément neutre de Ξ agit par l’identité). Les actions galoisiennes sur Ξ
et ¯
G sont compatibles. En particulier, Ξ
ΓF agit par automorphismes définis sur F .
Fixons un ouvert ¯
u de ¯ g(F ) contenant 0, tel que
– ¯
X ∈ ¯ u si et seulement si ¯
X ss ∈ ¯ u, où ¯
X ss est la partie semi-simple de ¯
X ;
– si ¯
X ∈ ¯
u et ¯
X
∈ ¯ g(F ) sont conjugués par un élément de ¯
G( ¯
F ), alors ¯
X
∈ ¯
u ;
– ¯
u est invariant par Ξ
ΓF .
Pour tout y, il lui correspond un tel voisinage u η[y] ⊂ g η[y] (F ), formé des X
tels que la classe de conjugaison stable de X ss corresponde à celle d’un élément de
¯
u. Soit ¯
X ∈ ¯
u∩¯ g reg (F ). Pour tout y ∈ ˙
Y(η), fixons un ensemble ˙
X ( ¯
X, y) ⊂ u η[y] de
représentants des classes de conjugaison par I η[y] (F ) dans la classe de conjugaison
stable de g η[y] (F ) correspondant à celle de ¯
X, si cette classe existe. Sinon, on pose
˙
X ( ¯
X, y) = ∅. Notons C( ¯
X) la classe de conjugaison stable commune dans ˜
G(F )
des exp(X)η[y], pour y ∈ ˙
Y(η) et X ∈ ˙
X ( ¯
X, y). Notons ¯
u ˜
G -reg le sous-ensemble
des ¯
X tels que C( ¯
X) soit formé d’éléments fortement réguliers dans ˜
G.
Notons ˜
U l’ensemble des éléments γ ∈ ˜
G(F ) tels que la partie semi-simple
de γ soit stablement conjuguée à un élément exp(X)η[y] pour un y ∈ ˙
Y(η) et un
X ∈ u η[y] (en supposant ¯ u assez petit pour que ces exponentielles soient définies).
Notons ˜
U
des éléments γ ∈ ˜
G(F ) tels que la partie semi-simple de γ soit conjuguée
par un élément de G(F ) à un élément exp(X)η[y] pour un y ∈ ˙
Y(η) et un X ∈ u η[y] .
Lemme. Si ¯
u est assez petit, les propriétés suivantes sont vérifiées.
(i) L’ensemble ˜
U est ouvert et égal à ˜
U
.
(ii) L’application ¯
X → C( ¯
X) est une surjection de ¯
u ˜
G -reg sur l’ensemble des
classes de conjugaison stable contenues dans ˜
U ∩ ˜
G reg (F ).