I.4. Stabilité et image du transfert
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(iii) On a C( ¯
X) = C( ¯
X
) si et seulement s’il existe ξ ∈ Ξ
ΓF tel que ξ( ¯
X) soit
stablement conjugué à ¯
X
.
(iv) Pour tout ¯
X ∈ ¯
u ˜
G -reg , l’ensemble {exp(X)η[y]; y ∈ ˙
Y(η), X ∈ ˙
X ( ¯
X, y)}
est un ensemble de représentants des classes de conjugaison par G(F ) dans
C( ¯
X).
Preuve. On a évidemment ˜
U
⊂ ˜
U . Pour démontrer l’inclusion opposée, on peut
se limiter aux éléments semi-simples. Soit γ ∈ ˜
U un tel élément. On peut fixer
y ∈ ˙
Y(η), X ∈ u η[y] et un diagramme (γ, B, T, B
, T
, γ
), où γ
= exp(X)η[y].
Posons θ
= ad γ . Le tore (T
)
θ
,0 est un sous-tore maximal de G γ . Si ¯ u est assez
petit, G γ est le commutant de X dans G η[y] . Donc X appartient au centre de
g γ , a fortiori à (t
)
θ
(F ). Soit Y l’image de X par l’application ξ T ,T : t
(F ) →
t(F ). Alors Y est fixe par ad γ et on vérifie que (exp(−Y )γ, B, T, B
, T
, η[y]) est
un diagramme. Donc exp(−Y )γ est stablement conjugué à η[y]. Il existe donc
y 1 ∈ ˙
Y(η) tel que exp(−Y )γ soit conjugué à η[y 1 ] par un élément de G(F ). Quitte
à effectuer une telle conjugaison, on peut supposer que ces deux éléments sont
égaux. Alors γ = exp(Y )η[y 1 ], avec Y ∈ g η[y1] (F ) (parce que Y commute à γ et à
exp(Y )). Il résulte des définitions des voisinages et de l’hypothèse X ∈ u η[y] que Y
appartient à u η[y1] . Cela prouve l’égalité ˜
U = ˜
U
. L’ensemble ˜
U
étant clairement
ouvert, cela prouve (i).
Le (ii) est évident. Le (iv) est le lemme 3.8 de [79] (dans cette référence, le
corps F est non-archimédien, mais la preuve vaut aussi bien pour F archimédien).
Pour le (iii), on peut identifier ¯
G à G η muni d’une action galoisienne de la forme
σ → σ ¯
G = ad u(σ) ◦σ, où u(σ) ∈ G η,SC . Posons γ = exp( ¯
X)η, γ
= exp( ¯
X
)η. Dire
que C( ¯
X) = C( ¯
X
) revient à dire qu’il existe g ∈ G tel que gγg
−1 = γ
. Si ¯
u est
assez petit, cela entraîne g ∈ Z G (η). Pour σ ∈ Γ F , on a σ(g)σ(γ)σ(g)
−1 = σ(γ
).
Puisque ¯
X ∈ ¯
g(F ), on a σ(γ) = u(σ)
−1 γu(σ). De même, σ(γ
) = u(σ)
−1 γ
u(σ).
D’où u(σ)σ(g)u(σ)
−1 γu(σ)g
−1 u(σ)
−1 = γ
. Alors g
−1 u(σ)σ(g)u(σ)
−1 fixe γ, donc
est contenu dans I γ , lui-même contenu dans I η . Donc l’image de g dans Ξ est fixe
par Γ F et la conclusion de (iii) s’ensuit. La réciproque est claire.
I.4.7 Conjugaison stable et K-espaces tordus
Dans le cas où F = R, les définitions et résultats des trois paragraphes précédents
s’adaptent aux K-espaces tordus. Il suffit de définir correctement la notion de
conjugaison stable et les ensembles Y(η) et ˙
Y(η). Pour des éléments γ ∈ ˜
G p,reg (R)
et γ
∈ ˜
G p ,reg (R), on dit simplement qu’ils sont stablement conjugués si γ est
conjugué à ˜
φ p,p (γ
) par un élément de G p . Soit η ∈ ˜
G p,ss (R). Pour p
∈ Π, on
note Y p (η) l’ensemble des y ∈ G p tels que yσ(y)
−1
∇ p ,p (σ)
−1
∈ I ˜
φ p ,p (η) pour
tout σ ∈ Γ F . Pour y ∈ Y p (η), on pose η[y] = y
−1 ˜
φ p ,p (η)y. On note ˙
Y p (η) un
ensemble de représentants des doubles classes I ˜
φ p ,p (η) \ Y p (η)/G p (F ). On pose
Y(η) = p ∈Π Y p (η), ˙
Y(η) = p ∈Π ˙
Y p (η). Remarquons que, puisque les paires de
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(iii) On a C( ¯
X) = C( ¯
X
) si et seulement s’il existe ξ ∈ Ξ
ΓF tel que ξ( ¯
X) soit
stablement conjugué à ¯
X
.
(iv) Pour tout ¯
X ∈ ¯
u ˜
G -reg , l’ensemble {exp(X)η[y]; y ∈ ˙
Y(η), X ∈ ˙
X ( ¯
X, y)}
est un ensemble de représentants des classes de conjugaison par G(F ) dans
C( ¯
X).
Preuve. On a évidemment ˜
U
⊂ ˜
U . Pour démontrer l’inclusion opposée, on peut
se limiter aux éléments semi-simples. Soit γ ∈ ˜
U un tel élément. On peut fixer
y ∈ ˙
Y(η), X ∈ u η[y] et un diagramme (γ, B, T, B
, T
, γ
), où γ
= exp(X)η[y].
Posons θ
= ad γ . Le tore (T
)
θ
,0 est un sous-tore maximal de G γ . Si ¯ u est assez
petit, G γ est le commutant de X dans G η[y] . Donc X appartient au centre de
g γ , a fortiori à (t
)
θ
(F ). Soit Y l’image de X par l’application ξ T ,T : t
(F ) →
t(F ). Alors Y est fixe par ad γ et on vérifie que (exp(−Y )γ, B, T, B
, T
, η[y]) est
un diagramme. Donc exp(−Y )γ est stablement conjugué à η[y]. Il existe donc
y 1 ∈ ˙
Y(η) tel que exp(−Y )γ soit conjugué à η[y 1 ] par un élément de G(F ). Quitte
à effectuer une telle conjugaison, on peut supposer que ces deux éléments sont
égaux. Alors γ = exp(Y )η[y 1 ], avec Y ∈ g η[y1] (F ) (parce que Y commute à γ et à
exp(Y )). Il résulte des définitions des voisinages et de l’hypothèse X ∈ u η[y] que Y
appartient à u η[y1] . Cela prouve l’égalité ˜
U = ˜
U
. L’ensemble ˜
U
étant clairement
ouvert, cela prouve (i).
Le (ii) est évident. Le (iv) est le lemme 3.8 de [79] (dans cette référence, le
corps F est non-archimédien, mais la preuve vaut aussi bien pour F archimédien).
Pour le (iii), on peut identifier ¯
G à G η muni d’une action galoisienne de la forme
σ → σ ¯
G = ad u(σ) ◦σ, où u(σ) ∈ G η,SC . Posons γ = exp( ¯
X)η, γ
= exp( ¯
X
)η. Dire
que C( ¯
X) = C( ¯
X
) revient à dire qu’il existe g ∈ G tel que gγg
−1 = γ
. Si ¯
u est
assez petit, cela entraîne g ∈ Z G (η). Pour σ ∈ Γ F , on a σ(g)σ(γ)σ(g)
−1 = σ(γ
).
Puisque ¯
X ∈ ¯
g(F ), on a σ(γ) = u(σ)
−1 γu(σ). De même, σ(γ
) = u(σ)
−1 γ
u(σ).
D’où u(σ)σ(g)u(σ)
−1 γu(σ)g
−1 u(σ)
−1 = γ
. Alors g
−1 u(σ)σ(g)u(σ)
−1 fixe γ, donc
est contenu dans I γ , lui-même contenu dans I η . Donc l’image de g dans Ξ est fixe
par Γ F et la conclusion de (iii) s’ensuit. La réciproque est claire.
I.4.7 Conjugaison stable et K-espaces tordus
Dans le cas où F = R, les définitions et résultats des trois paragraphes précédents
s’adaptent aux K-espaces tordus. Il suffit de définir correctement la notion de
conjugaison stable et les ensembles Y(η) et ˙
Y(η). Pour des éléments γ ∈ ˜
G p,reg (R)
et γ
∈ ˜
G p ,reg (R), on dit simplement qu’ils sont stablement conjugués si γ est
conjugué à ˜
φ p,p (γ
) par un élément de G p . Soit η ∈ ˜
G p,ss (R). Pour p
∈ Π, on
note Y p (η) l’ensemble des y ∈ G p tels que yσ(y)
−1
∇ p ,p (σ)
−1
∈ I ˜
φ p ,p (η) pour
tout σ ∈ Γ F . Pour y ∈ Y p (η), on pose η[y] = y
−1 ˜
φ p ,p (η)y. On note ˙
Y p (η) un
ensemble de représentants des doubles classes I ˜
φ p ,p (η) \ Y p (η)/G p (F ). On pose
Y(η) = p ∈Π Y p (η), ˙
Y(η) = p ∈Π ˙
Y p (η). Remarquons que, puisque les paires de