86
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Borel des différents groupes G p s’identifient, on peut définir sans changement la
notion de diagramme joignant deux éléments semi-simples de K ˜
G(R). Avec les
définitions ci-dessus, les propriétés (st1) à (st4) de 4.4 restent équivalentes pour
η, η
∈ K ˜
G ss (R). On dit que η et η
sont stablement conjugués si et seulement si
ces conditions sont vérifiées.
I.4.8 Descente d’Harish-Chandra et stabilité
Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On sait que tout élément
semi-simple de ˜
G(F ) est stablement conjugué à un élément pour lequel G est
quasi-déployé. Soit vérifiant ces conditions. Posons Ξ = Z G ()/G . C’est le
même groupe qu’en 4.6 compte tenu du fait que G = I puisque la torsion est
intérieure. On a vu que le groupe Ξ
ΓF
agissait sur G par automorphismes définis
sur F . Pour simplifier, on note cette action comme une conjugaison. Soit u un
voisinage ouvert de 0 dans g (F ) vérifiant les conditions suivantes
– X ∈ u si et seulement si sa partie semi-simple X ss appartient à u ;
– si X ∈ u et X
∈ g (F ) sont conjugués par un élément de G ( ¯
F ), alors
X
∈ u ;
– u est invariant par l’action de Ξ
ΓF
.
On suppose u assez petit, en particulier l’exponentielle y est définie.
Pour tout y ∈ Y(), on définit u [y] comme en 4.6 et on pose U [y] = exp(u [y] )
(simplement U = exp(u)). On note ˜
U l’ensemble des éléments de ˜
G(F ) dont la
partie semi-simple est stablement conjuguée à un élément de U . C’est l’ensemble
du (i) du lemme 4.6. En effet, pour y ∈ ˙
Y(), tout élément semi-simple de U [y] [y]
est stablement conjugué à un élément de U , cela parce que G est quasi-déployé.
On définit une correspondance entre C
∞
c ( ˜
U ) et C
∞
c (U ) C
∞
c (u) par : f ∈ C
∞
c ( ˜
U )
et φ ∈ C
∞
c (U ) se correspondent si et seulement si on a l’égalité S
˜
G (xx, f ) =
S
G (x, φ) pour tout élément x ∈ U tel que xx soit fortement régulier dans ˜
G.
Avec des notations évidentes, on a le résultat suivant.
Lemme. Cette correspondance se quotiente en un isomorphisme
desc
st
: SI( ˜
U ) → SI(U )
Ξ
Γ F
SI(u)
Ξ
Γ F
.
Si est elliptique dans ˜
G(F ), cet isomorphisme se restreint en un isomorphisme
SI cusp ( ˜
U ) → SI cusp (U )
Ξ
Γ F
SI cusp (u)
Ξ
Γ F
.
Preuve. Notons C
∞
c ( ˜
U )
et C
∞
c (u)
les projections dans C
∞
c ( ˜
U ) et C
∞
c (u) du
graphe de la correspondance. Notons SI( ˜
U )
et SI(u)
leurs images dans SI( ˜
U )
et SI(u). Puisque toute classe de conjugaison stable dans ˜
U contient un élément
exp(X) avec X ∈ u, la correspondance se quotiente alors en un isomorphisme
entre SI( ˜
U )
et SI(u)
. Ce dernier espace est inclus dans SI(u)
Ξ
Γ F
: cela résulte
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Borel des différents groupes G p s’identifient, on peut définir sans changement la
notion de diagramme joignant deux éléments semi-simples de K ˜
G(R). Avec les
définitions ci-dessus, les propriétés (st1) à (st4) de 4.4 restent équivalentes pour
η, η
∈ K ˜
G ss (R). On dit que η et η
sont stablement conjugués si et seulement si
ces conditions sont vérifiées.
I.4.8 Descente d’Harish-Chandra et stabilité
Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On sait que tout élément
semi-simple de ˜
G(F ) est stablement conjugué à un élément pour lequel G est
quasi-déployé. Soit vérifiant ces conditions. Posons Ξ = Z G ()/G . C’est le
même groupe qu’en 4.6 compte tenu du fait que G = I puisque la torsion est
intérieure. On a vu que le groupe Ξ
ΓF
agissait sur G par automorphismes définis
sur F . Pour simplifier, on note cette action comme une conjugaison. Soit u un
voisinage ouvert de 0 dans g (F ) vérifiant les conditions suivantes
– X ∈ u si et seulement si sa partie semi-simple X ss appartient à u ;
– si X ∈ u et X
∈ g (F ) sont conjugués par un élément de G ( ¯
F ), alors
X
∈ u ;
– u est invariant par l’action de Ξ
ΓF
.
On suppose u assez petit, en particulier l’exponentielle y est définie.
Pour tout y ∈ Y(), on définit u [y] comme en 4.6 et on pose U [y] = exp(u [y] )
(simplement U = exp(u)). On note ˜
U l’ensemble des éléments de ˜
G(F ) dont la
partie semi-simple est stablement conjuguée à un élément de U . C’est l’ensemble
du (i) du lemme 4.6. En effet, pour y ∈ ˙
Y(), tout élément semi-simple de U [y] [y]
est stablement conjugué à un élément de U , cela parce que G est quasi-déployé.
On définit une correspondance entre C
∞
c ( ˜
U ) et C
∞
c (U ) C
∞
c (u) par : f ∈ C
∞
c ( ˜
U )
et φ ∈ C
∞
c (U ) se correspondent si et seulement si on a l’égalité S
˜
G (xx, f ) =
S
G (x, φ) pour tout élément x ∈ U tel que xx soit fortement régulier dans ˜
G.
Avec des notations évidentes, on a le résultat suivant.
Lemme. Cette correspondance se quotiente en un isomorphisme
desc
st
: SI( ˜
U ) → SI(U )
Ξ
Γ F
SI(u)
Ξ
Γ F
.
Si est elliptique dans ˜
G(F ), cet isomorphisme se restreint en un isomorphisme
SI cusp ( ˜
U ) → SI cusp (U )
Ξ
Γ F
SI cusp (u)
Ξ
Γ F
.
Preuve. Notons C
∞
c ( ˜
U )
et C
∞
c (u)
les projections dans C
∞
c ( ˜
U ) et C
∞
c (u) du
graphe de la correspondance. Notons SI( ˜
U )
et SI(u)
leurs images dans SI( ˜
U )
et SI(u). Puisque toute classe de conjugaison stable dans ˜
U contient un élément
exp(X) avec X ∈ u, la correspondance se quotiente alors en un isomorphisme
entre SI( ˜
U )
et SI(u)
. Ce dernier espace est inclus dans SI(u)
Ξ
Γ F
: cela résulte