I.4. Stabilité et image du transfert
87
du fait que, pour g ∈ Ξ
ΓF
et X ∈ u, l’élément exp(g
−1 Xg) est stablement conjugué à exp(X) On va montrer que C
∞
c ( ˜
U )
= C
∞
c ( ˜
U ) tandis que C
∞
c (u)
est
l’espace des éléments de C
∞
c (u) dont l’image dans SI(u) est invariante par Ξ
ΓF
.
Soient f ∈ C
∞
c ( ˜
U ) et X un élément régulier de u. Le lemme 4.6(iv) décrit
un ensemble de représentants des classes de conjugaison par G(F ) dans la classe
stable de exp(X). En appliquant les définitions, on obtient
S
˜
G (exp(X), f ) =
y∈ ˙
Y()
X ∈ ˙
X (X,y)
I
˜
G (exp(X
)[y], f).
On effectue la descente d’Harish-Chandra au voisinage de chaque point [y]. La
fonction f correspond ainsi à une fonction disons φ
y ∈ C
∞
c (u [y] ). Le groupe quasidéployé G se complète de la façon habituelle en une donnée endoscopique de G [y]
et la fonction φ
y se transfère en une fonction φ y ∈ C
∞
c (u). La formule précédente
devient
S
˜
G (exp(X), f ) =
y∈ ˙
Y()
S
G (X, φ y ).
Donc la fonction φ f =
y∈ ˙
Y() φ y correspond à f . Cela prouve l’égalité C
∞
c ( ˜
U )
=
C
∞
c ( ˜
U ).
Inversement, soit φ ∈ C
∞
c (u) dont l’image dans SI(u) est invariante par Ξ
ΓF
.
On a une inclusion Z G (; F )/G (F ) ⊂ Ξ
ΓF
. Sans changer l’image de φ dans SI(u),
on peut remplacer φ par la fonction
X → |Z G (; F )/G (F )|
−1
g
φ(g
−1 Xg),
où g parcourt un ensemble de représentants de Z G (; F )/G (F ). On peut ainsi
supposer que l’image de φ dans I(u) est invariante par Z G (; F ). Appliquant la
descente d’Harish-Chandra, on peut trouver f ∈ C
∞
c ( ˜
U ) qui correspond à φ et
dont les intégrales orbitales sont nulles en tout point qui n’est pas conjugué par
un élément de G(F ) à un élément de exp(u). Appliquant la première partie du
raisonnement à cette fonction, on construit une fonction φ f ∈ C
∞
c (u) qui correspond à f . On va montrer que l’image de φ f dans SI(u) est égale à celle de N φ,
où N est un entier non nul, ce qui achèvera la preuve de la première assertion du
lemme. On a une inclusion naturelle
Ξ
ΓF
/Z G (; F ) → G \Y()/G(F ).
Notons ˙
Y 0 () le sous-ensemble de ˙
Y() représentant l’image de cette inclusion. On
peut supposer que, pour y ∈ ˙
Y 0 (), [y] = et l’automorphisme ad y de G est un
élément de Ξ
ΓF
. On peut aussi supposer que y = 1 appartient à ˙
Y 0 (). Pour y = 1,
φ 1 = φ
1 a par définition même image que φ dans I(u), a fortiori dans SI(u). Pour
y ∈ ˙
Y 0 (), φ
y = φ
1 puisque y
−1 y = . D’après la propriété ci-dessus de ad y , le
transfert φ y de φ
y a même image dans SI(u) que l’image de φ par l’action d’un
87
du fait que, pour g ∈ Ξ
ΓF
et X ∈ u, l’élément exp(g
−1 Xg) est stablement conjugué à exp(X) On va montrer que C
∞
c ( ˜
U )
= C
∞
c ( ˜
U ) tandis que C
∞
c (u)
est
l’espace des éléments de C
∞
c (u) dont l’image dans SI(u) est invariante par Ξ
ΓF
.
Soient f ∈ C
∞
c ( ˜
U ) et X un élément régulier de u. Le lemme 4.6(iv) décrit
un ensemble de représentants des classes de conjugaison par G(F ) dans la classe
stable de exp(X). En appliquant les définitions, on obtient
S
˜
G (exp(X), f ) =
y∈ ˙
Y()
X ∈ ˙
X (X,y)
I
˜
G (exp(X
)[y], f).
On effectue la descente d’Harish-Chandra au voisinage de chaque point [y]. La
fonction f correspond ainsi à une fonction disons φ
y ∈ C
∞
c (u [y] ). Le groupe quasidéployé G se complète de la façon habituelle en une donnée endoscopique de G [y]
et la fonction φ
y se transfère en une fonction φ y ∈ C
∞
c (u). La formule précédente
devient
S
˜
G (exp(X), f ) =
y∈ ˙
Y()
S
G (X, φ y ).
Donc la fonction φ f =
y∈ ˙
Y() φ y correspond à f . Cela prouve l’égalité C
∞
c ( ˜
U )
=
C
∞
c ( ˜
U ).
Inversement, soit φ ∈ C
∞
c (u) dont l’image dans SI(u) est invariante par Ξ
ΓF
.
On a une inclusion Z G (; F )/G (F ) ⊂ Ξ
ΓF
. Sans changer l’image de φ dans SI(u),
on peut remplacer φ par la fonction
X → |Z G (; F )/G (F )|
−1
g
φ(g
−1 Xg),
où g parcourt un ensemble de représentants de Z G (; F )/G (F ). On peut ainsi
supposer que l’image de φ dans I(u) est invariante par Z G (; F ). Appliquant la
descente d’Harish-Chandra, on peut trouver f ∈ C
∞
c ( ˜
U ) qui correspond à φ et
dont les intégrales orbitales sont nulles en tout point qui n’est pas conjugué par
un élément de G(F ) à un élément de exp(u). Appliquant la première partie du
raisonnement à cette fonction, on construit une fonction φ f ∈ C
∞
c (u) qui correspond à f . On va montrer que l’image de φ f dans SI(u) est égale à celle de N φ,
où N est un entier non nul, ce qui achèvera la preuve de la première assertion du
lemme. On a une inclusion naturelle
Ξ
ΓF
/Z G (; F ) → G \Y()/G(F ).
Notons ˙
Y 0 () le sous-ensemble de ˙
Y() représentant l’image de cette inclusion. On
peut supposer que, pour y ∈ ˙
Y 0 (), [y] = et l’automorphisme ad y de G est un
élément de Ξ
ΓF
. On peut aussi supposer que y = 1 appartient à ˙
Y 0 (). Pour y = 1,
φ 1 = φ
1 a par définition même image que φ dans I(u), a fortiori dans SI(u). Pour
y ∈ ˙
Y 0 (), φ
y = φ
1 puisque y
−1 y = . D’après la propriété ci-dessus de ad y , le
transfert φ y de φ
y a même image dans SI(u) que l’image de φ par l’action d’un