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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
élément de Ξ
ΓF
. Puisque cette dernière image est invariante par ce groupe, φ y a
même image que φ dans SI(u). Pour y ∈ ˙
Y() − ˙
Y 0 (), aucun élément de U [y] [y]
n’est conjugué par un élément de G(F ) à un élément de U . Sinon, en supposant
u assez petit, cela entraînerait que [y] serait conjugué à par un élément de G(F )
et on voit que cela contredirait l’hypothèse que y ∈ ˙
Y 0 (). On peut donc supposer
φ
y = 0 pour ces y et on conclut comme on le voulait que l’image de φ f dans SI(u)
est égale à celle de | ˙
Y 0 ()|φ. Cela achève la preuve de la première assertion de
l’énoncé.
Si est elliptique, pour X ∈ u régulier, X est elliptique dans g (F ) si et
seulement si exp(X) est elliptique dans ˜
G(F ). Il en résulte que l’isomorphisme de
la première assertion conserve la cuspidalité.
Variante. Supposons donnée une extension
1 → C 1 → G 1 → G → 1
où C 1 est un tore central induit, une extension compatible
˜
G 1 → ˜
G
avec ˜
G 1 à torsion intérieure et un caractère λ 1 de C 1 (F ). Soit comme précédemment. Fixons 1 ∈ ˜
G 1 (F ) se projetant sur . On a une suite exacte
0 → c 1 → g 1,,1 → g → 0.
On a besoin de scinder convenablement cette suite. La partie semi-simple de g se
scinde canoniquement par le diagramme
g 1,,1,SC g ,SC
↓
↓
g 1,,1
→ g .
Notons Z 1 et Z les centres de G 1,,1 et G . Le groupe Z G () agit par conjugaison
sur ˜
G 1 . Cette action conserve G 1,,1 . En effet, un élément g ∈ Z G () envoie 1 sur
c(g) 1 pour un unique c(g) ∈ C 1 , donc envoie G 1,,1 sur G 1,c(g)1 = G 1,,1 . L’action
de Z G () se restreint en une action sur Z 1 , qui est l’identité sur C 1 . On peut alors
trouver une décomposition
z 1 = c 1 ⊕ s
stable pour les actions de Γ F et de Z G (). On fixe une telle décomposition. La
projection g 1,,1 → g se restreint en un isomorphisme
s ⊕ g 1,,1,SC → g
et on prend pour section l’isomorphisme réciproque. Soit u un voisinage comme
précédemment, que l’on identifie par la section à un sous-ensemble de g 1,,1 (F ).
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
élément de Ξ
ΓF
. Puisque cette dernière image est invariante par ce groupe, φ y a
même image que φ dans SI(u). Pour y ∈ ˙
Y() − ˙
Y 0 (), aucun élément de U [y] [y]
n’est conjugué par un élément de G(F ) à un élément de U . Sinon, en supposant
u assez petit, cela entraînerait que [y] serait conjugué à par un élément de G(F )
et on voit que cela contredirait l’hypothèse que y ∈ ˙
Y 0 (). On peut donc supposer
φ
y = 0 pour ces y et on conclut comme on le voulait que l’image de φ f dans SI(u)
est égale à celle de | ˙
Y 0 ()|φ. Cela achève la preuve de la première assertion de
l’énoncé.
Si est elliptique, pour X ∈ u régulier, X est elliptique dans g (F ) si et
seulement si exp(X) est elliptique dans ˜
G(F ). Il en résulte que l’isomorphisme de
la première assertion conserve la cuspidalité.
Variante. Supposons donnée une extension
1 → C 1 → G 1 → G → 1
où C 1 est un tore central induit, une extension compatible
˜
G 1 → ˜
G
avec ˜
G 1 à torsion intérieure et un caractère λ 1 de C 1 (F ). Soit comme précédemment. Fixons 1 ∈ ˜
G 1 (F ) se projetant sur . On a une suite exacte
0 → c 1 → g 1,,1 → g → 0.
On a besoin de scinder convenablement cette suite. La partie semi-simple de g se
scinde canoniquement par le diagramme
g 1,,1,SC g ,SC
↓
↓
g 1,,1
→ g .
Notons Z 1 et Z les centres de G 1,,1 et G . Le groupe Z G () agit par conjugaison
sur ˜
G 1 . Cette action conserve G 1,,1 . En effet, un élément g ∈ Z G () envoie 1 sur
c(g) 1 pour un unique c(g) ∈ C 1 , donc envoie G 1,,1 sur G 1,c(g)1 = G 1,,1 . L’action
de Z G () se restreint en une action sur Z 1 , qui est l’identité sur C 1 . On peut alors
trouver une décomposition
z 1 = c 1 ⊕ s
stable pour les actions de Γ F et de Z G (). On fixe une telle décomposition. La
projection g 1,,1 → g se restreint en un isomorphisme
s ⊕ g 1,,1,SC → g
et on prend pour section l’isomorphisme réciproque. Soit u un voisinage comme
précédemment, que l’on identifie par la section à un sous-ensemble de g 1,,1 (F ).