I.4. Stabilité et image du transfert
89
On note ˜
U 1 l’image réciproque de ˜
U dans ˜
G 1 (F ) et on définit l’espace SI λ1 ( ˜
U 1 ),
quotient de C
∞
c,λ1 ( ˜
U 1 ) par le sous-espace des fonctions dont les intégrales orbitales
stables sont nulles. On définit comme précédemment une correspondance naturelle
entre C
∞
c,λ1 ( ˜
U 1 ) et C
∞
c (u). Comme on l’a dit ci-dessus, un élément de Z G () envoie
1 sur c(g) 1 pour un unique c(g) ∈ C 1 . On a c(g) = 1 pour g ∈ G . D’autre part,
si l’image de g dans Z G ()/G = Ξ est fixe par Γ F , c(g) appartient à C 1 (F ). On
obtient un caractère g → λ 1 (c(g)
−1 ) du groupe Ξ
ΓF
. Alors
(1) la correspondance ci-dessus se quotiente en un isomorphisme entre SI λ1 ( ˜
U 1 )
et le sous-espace des éléments de SI(u) qui se transforment selon ce caractère
de Ξ
ΓF
.
Considérons maintenant d’autres extensions
1 → C 2 → G 2 → G → 1, ˜
G 2 → ˜
G
et un caractère λ 2 de C 2 (F ), vérifiant les mêmes conditions que ci-dessus. Introduisons comme en 2.5 les produits fibrés G 12 et ˜
G 12 et supposons donnés un caractère
λ 12 de G 12 (F ) et une fonction non nulle ˜
λ 12 sur ˜
G 12 (F ) vérifiant les conditions de
ce paragraphe, c’est-à-dire
– la restriction de λ 12 à C 1 (F ) × C 2 (F ) est λ 1 × λ
−1
2 ;
– pour (γ 1 , γ 2 ) ∈ ˜
G 12 (F ) et (x 1 , x 2 ) ∈ G 12 (F ), on a l’égalité
˜
λ 12 (x 1 γ 1 , x 2 γ 2 ) = λ 12 (x 1 , x 2 ) ˜
λ 12 (γ 1 , γ 2 ).
Par la construction ci-dessus, chaque série de données définit un caractère de
Ξ
ΓF
. On a
(2) ces caractères sont égaux.
Fixons 1 comme plus haut et 2 de façon similaire. Soit g ∈ Z G () s’envoyant sur un élément de Ξ
ΓF
. Pour i = 1, 2, on a ad g ( i ) = c i (g) i avec c i (g) ∈
C i (F ). Il s’agit de prouver que λ 1 (c 1 (g)) = λ 2 (c 2 (g)). En posant 12 = ( 1 , , 2 ) et
12 = (ad g ( 1 ), ad g ( 2 )), il revient au même de prouver que ˜
λ 12 ( 12 ) = ˜
λ 12 (
12 ).
Puisque G 12 est quasi-déployé, il coïncide avec le groupe G 12,0 qu’on lui a associé en 1.12. Il en résulte que l’application N
˜
G12 se quotiente en l’injection
π(G 12,SC (F ))\ ˜
G 12 (F ) → ˜
G 12,ab (F ). Par construction, les éléments 12 et
12 sont
stablement conjugués. D’après le lemme 4.5, on a N
˜
G12 ( 12 ) = N
˜
G12 (
12 ), donc
12 ∈ π(G 12,SC (F )) 12 . Le caractère λ 12 est forcément trivial sur π(G 12,SC (F )).
Donc ˜
λ 12 ( 12 ) = ˜
λ 12 (
12 ) comme on le voulait. Cela prouve (2).
I.4.9 Conjugaison stable et endoscopie
Soit G
une donnée endoscopique relevante pour (G, ˜
G, a). Fixons un diagramme
(, B
, T
, B, T, η).
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On note ˜
U 1 l’image réciproque de ˜
U dans ˜
G 1 (F ) et on définit l’espace SI λ1 ( ˜
U 1 ),
quotient de C
∞
c,λ1 ( ˜
U 1 ) par le sous-espace des fonctions dont les intégrales orbitales
stables sont nulles. On définit comme précédemment une correspondance naturelle
entre C
∞
c,λ1 ( ˜
U 1 ) et C
∞
c (u). Comme on l’a dit ci-dessus, un élément de Z G () envoie
1 sur c(g) 1 pour un unique c(g) ∈ C 1 . On a c(g) = 1 pour g ∈ G . D’autre part,
si l’image de g dans Z G ()/G = Ξ est fixe par Γ F , c(g) appartient à C 1 (F ). On
obtient un caractère g → λ 1 (c(g)
−1 ) du groupe Ξ
ΓF
. Alors
(1) la correspondance ci-dessus se quotiente en un isomorphisme entre SI λ1 ( ˜
U 1 )
et le sous-espace des éléments de SI(u) qui se transforment selon ce caractère
de Ξ
ΓF
.
Considérons maintenant d’autres extensions
1 → C 2 → G 2 → G → 1, ˜
G 2 → ˜
G
et un caractère λ 2 de C 2 (F ), vérifiant les mêmes conditions que ci-dessus. Introduisons comme en 2.5 les produits fibrés G 12 et ˜
G 12 et supposons donnés un caractère
λ 12 de G 12 (F ) et une fonction non nulle ˜
λ 12 sur ˜
G 12 (F ) vérifiant les conditions de
ce paragraphe, c’est-à-dire
– la restriction de λ 12 à C 1 (F ) × C 2 (F ) est λ 1 × λ
−1
2 ;
– pour (γ 1 , γ 2 ) ∈ ˜
G 12 (F ) et (x 1 , x 2 ) ∈ G 12 (F ), on a l’égalité
˜
λ 12 (x 1 γ 1 , x 2 γ 2 ) = λ 12 (x 1 , x 2 ) ˜
λ 12 (γ 1 , γ 2 ).
Par la construction ci-dessus, chaque série de données définit un caractère de
Ξ
ΓF
. On a
(2) ces caractères sont égaux.
Fixons 1 comme plus haut et 2 de façon similaire. Soit g ∈ Z G () s’envoyant sur un élément de Ξ
ΓF
. Pour i = 1, 2, on a ad g ( i ) = c i (g) i avec c i (g) ∈
C i (F ). Il s’agit de prouver que λ 1 (c 1 (g)) = λ 2 (c 2 (g)). En posant 12 = ( 1 , , 2 ) et
12 = (ad g ( 1 ), ad g ( 2 )), il revient au même de prouver que ˜
λ 12 ( 12 ) = ˜
λ 12 (
12 ).
Puisque G 12 est quasi-déployé, il coïncide avec le groupe G 12,0 qu’on lui a associé en 1.12. Il en résulte que l’application N
˜
G12 se quotiente en l’injection
π(G 12,SC (F ))\ ˜
G 12 (F ) → ˜
G 12,ab (F ). Par construction, les éléments 12 et
12 sont
stablement conjugués. D’après le lemme 4.5, on a N
˜
G12 ( 12 ) = N
˜
G12 (
12 ), donc
12 ∈ π(G 12,SC (F )) 12 . Le caractère λ 12 est forcément trivial sur π(G 12,SC (F )).
Donc ˜
λ 12 ( 12 ) = ˜
λ 12 (
12 ) comme on le voulait. Cela prouve (2).
I.4.9 Conjugaison stable et endoscopie
Soit G
une donnée endoscopique relevante pour (G, ˜
G, a). Fixons un diagramme
(, B
, T
, B, T, η).