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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
On fixe une forme quasi-déployée ¯
G de G η . On fixe de même une forme quasidéployée G
∗
de G
. A l’aide du diagramme, on a construit en [79] 3.5 une donnée
endoscopique ¯
G
= ( ¯
G
, ¯
G
, ¯
s) de ¯
G SC . Il s’agit d’endoscopie usuelle, il n’y a ici
ni torsion, ni caractère. Les deux groupes G
∗
,SC et ¯
G
SC forment une paire endoscopique non standard ([79] 1.7). Précisons les correspondances de tores. Fixons
des paires de Borel dans chacun des groupes, dont on note les tores ¯
T pour ¯
G,
¯
T
pour ¯
G
et T
∗ pour G
∗
. Si on oublie les actions galoisiennes, on peut identifier ¯
T à T
θ,0 , où θ = ad η , et T
∗ à T
. De l’homomorphisme ξ T,T se déduit un
isomorphisme
X ∗ ( ¯
T ) ⊗ Q → X ∗ (T
∗ ) ⊗ Q.
De même, on peut choisir un homomorphisme ξ ¯
Tsc, ¯
T (qui est un isomorphisme
puisque la situation n’est pas tordue), d’où un isomorphisme
X ∗ ( ¯
T sc ) ⊗ Q → X ∗ ( ¯
T
) ⊗ Q.
Enfin, sous-jacent à la notion d’endoscopie non standard, il y a un isomorphisme
X ∗ (T
∗
sc ) ⊗ Q → X ∗ ( ¯
T
sc ) ⊗ Q,
qui, lui, est équivariant pour les actions galoisiennes. Ces homomorphismes sont
compatibles. De plus, il s’en déduit un isomorphisme
X ∗ (Z(G
)
0 ) ⊗ Q → (X ∗ (Z( ¯
G)
0 ) ⊗ Q) ⊕ (X ∗ (Z( ¯
G
)
0 ) ⊗ Q)
qui est compatible aux actions galoisiennes.
Ces isomorphismes induisent des correspondances compatibles entre classes
de conjugaison stable d’éléments semi-simples réguliers dans les algèbres de Lie
des différents groupes.
Rappelons que l’on dit que et η se correspondent s’il existe un diagramme
les joignant.
Remarque. Si et η se correspondent, il existe un diagramme (, B
, T
, B, T, η)
tel que T
est un tore elliptique de G
si F est non-archimédien, resp. est un
tore fondamental de G
si F est archimédien. A l’aide des rappels ci-dessus, cela
résulte de ce que, puisque ¯
G
est une donnée endoscopique relevante de G η,SC ,
tout sous-tore maximal elliptique, resp. fondamental, de ¯
G
se transfère à G η,SC .
Cette correspondance induit une correspondance entre classes de conjugaison
stable d’éléments semi-simples dans ˜
G
(F ) et ˜
G(F ). Précisément, pour de tels
éléments
(1) si correspond à η et η
, alors η et η
sont stablement conjugués ;
(2) si correspond à η et
est stablement conjugué à , alors
correspond à η ;
(3) si correspond à η et si ˜
α x est un automorphisme défini sur F de ˜
G
provenant
d’un élément x ∈ Aut(G
), alors ˜
α x () correspond à η.
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
On fixe une forme quasi-déployée ¯
G de G η . On fixe de même une forme quasidéployée G
∗
de G
. A l’aide du diagramme, on a construit en [79] 3.5 une donnée
endoscopique ¯
G
= ( ¯
G
, ¯
G
, ¯
s) de ¯
G SC . Il s’agit d’endoscopie usuelle, il n’y a ici
ni torsion, ni caractère. Les deux groupes G
∗
,SC et ¯
G
SC forment une paire endoscopique non standard ([79] 1.7). Précisons les correspondances de tores. Fixons
des paires de Borel dans chacun des groupes, dont on note les tores ¯
T pour ¯
G,
¯
T
pour ¯
G
et T
∗ pour G
∗
. Si on oublie les actions galoisiennes, on peut identifier ¯
T à T
θ,0 , où θ = ad η , et T
∗ à T
. De l’homomorphisme ξ T,T se déduit un
isomorphisme
X ∗ ( ¯
T ) ⊗ Q → X ∗ (T
∗ ) ⊗ Q.
De même, on peut choisir un homomorphisme ξ ¯
Tsc, ¯
T (qui est un isomorphisme
puisque la situation n’est pas tordue), d’où un isomorphisme
X ∗ ( ¯
T sc ) ⊗ Q → X ∗ ( ¯
T
) ⊗ Q.
Enfin, sous-jacent à la notion d’endoscopie non standard, il y a un isomorphisme
X ∗ (T
∗
sc ) ⊗ Q → X ∗ ( ¯
T
sc ) ⊗ Q,
qui, lui, est équivariant pour les actions galoisiennes. Ces homomorphismes sont
compatibles. De plus, il s’en déduit un isomorphisme
X ∗ (Z(G
)
0 ) ⊗ Q → (X ∗ (Z( ¯
G)
0 ) ⊗ Q) ⊕ (X ∗ (Z( ¯
G
)
0 ) ⊗ Q)
qui est compatible aux actions galoisiennes.
Ces isomorphismes induisent des correspondances compatibles entre classes
de conjugaison stable d’éléments semi-simples réguliers dans les algèbres de Lie
des différents groupes.
Rappelons que l’on dit que et η se correspondent s’il existe un diagramme
les joignant.
Remarque. Si et η se correspondent, il existe un diagramme (, B
, T
, B, T, η)
tel que T
est un tore elliptique de G
si F est non-archimédien, resp. est un
tore fondamental de G
si F est archimédien. A l’aide des rappels ci-dessus, cela
résulte de ce que, puisque ¯
G
est une donnée endoscopique relevante de G η,SC ,
tout sous-tore maximal elliptique, resp. fondamental, de ¯
G
se transfère à G η,SC .
Cette correspondance induit une correspondance entre classes de conjugaison
stable d’éléments semi-simples dans ˜
G
(F ) et ˜
G(F ). Précisément, pour de tels
éléments
(1) si correspond à η et η
, alors η et η
sont stablement conjugués ;
(2) si correspond à η et
est stablement conjugué à , alors
correspond à η ;
(3) si correspond à η et si ˜
α x est un automorphisme défini sur F de ˜
G
provenant
d’un élément x ∈ Aut(G
), alors ˜
α x () correspond à η.