I.4. Stabilité et image du transfert
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Le (1) est le lemme 3.4 de [79]. Pour (2), d’après la remarque ci-dessus, s’il
existe un diagramme (, B
, T
, B, T, η), on peut le remplacer par un autre où T
est elliptique ou fondamental dans G
. Un tel tore se transférant à toute forme
intérieure, (2) s’ensuit. Le (3) résulte des définitions.
Remarquons que les assertions réciproques de (1) et (2) sont fausses en général. La réciproque de (1) devient toutefois vraie si G
est elliptique ainsi que (avec
notre définition : est elliptique s’il appartient à un sous-tore maximal elliptique
de G
). D’autre part, parce que l’on sait que dans la classe de conjugaison stable
de , il y a toujours un élément dont le commutant connexe est quasi-déployé, (2)
nous permet de nous limiter à considérer des vérifiant cette propriété.
Restreignons-nous maintenant aux éléments elliptiques. Pour un élément
semi-simple elliptique η ∈ ˜
G(F ), considérons les couples (G
, ,) où G
est une donnée endoscopique elliptique de (G, ˜
G, a) et ∈ ˜
G
(F ) est un élément semi-simple
elliptique qui correspond à η et dont le commutant connexe G
est quasi-déployé.
Disons que deux couples (G
1 , , 1 ) et (G
2 , , 2 ) sont équivalents si et seulement s’il
existe un isomorphisme ˜
α : ˜
G
1 → ˜
G
2 défini sur F et provenant d’une équivalence
entre G
1 et G
2 de sorte que 2 soit stablement conjugué à ˜
α( 1 ). On fixe un ensemble ˙
X
E (η) de représentants des classes d’équivalence de ces couples. Pour tout
(G
, ,) ∈ ˙
X
E (η), on fixe des données auxiliaires G
1 , . . . , Δ 1 (notons que G
est
forcément relevant) et un élément 1 ∈ ˜
G
1 (F ) qui relève .
Considérons d’abord le cas où η est fortement régulier et F est non archimédien. On a d’abord
– si ω n’est pas trivial sur Z G (η; F ), alors ˙
X
E (η) = ∅, cf. [48] lemme 4.4.C.
Supposons ω trivial sur Z G (η; F ). Fixons un ensemble de représentants ˙
X (η)
des classes de conjugaison par G(F ) dans la classe de conjugaison stable de η. On
définit les deux applications linéaires
(4)
C
˙
X (η)
→
C
˙
X
E (η)
(x η ) η ∈ ˙
X (η) → (y (G ,,) ) (G ,,)∈ ˙
X E (η)
où
y (G ,,) = d(θ
∗ )
1/2
η ∈ ˙
X (η)
Δ 1 ( 1 , η
)[Z G (η
; F ) : G η (F )]
−1 x η
(le Δ 1 est bien sûr celui de G
) ;
(5)
C
˙
X
E (η)
→
C
˙
X
( η)
(y (G ,,) ) (G ,,)∈ ˙
X E (η) → (x η ) η ∈ ˙
X (η)
où
x η = [Z G (η
; F ) : G η (F )]| ˙
X (η)|
−1 d(θ
∗ )
−1/2
(G ,,)∈ ˙
X E (η)
Δ 1 ( 1 , η
)
−1 y (G ,,) .
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Le (1) est le lemme 3.4 de [79]. Pour (2), d’après la remarque ci-dessus, s’il
existe un diagramme (, B
, T
, B, T, η), on peut le remplacer par un autre où T
est elliptique ou fondamental dans G
. Un tel tore se transférant à toute forme
intérieure, (2) s’ensuit. Le (3) résulte des définitions.
Remarquons que les assertions réciproques de (1) et (2) sont fausses en général. La réciproque de (1) devient toutefois vraie si G
est elliptique ainsi que (avec
notre définition : est elliptique s’il appartient à un sous-tore maximal elliptique
de G
). D’autre part, parce que l’on sait que dans la classe de conjugaison stable
de , il y a toujours un élément dont le commutant connexe est quasi-déployé, (2)
nous permet de nous limiter à considérer des vérifiant cette propriété.
Restreignons-nous maintenant aux éléments elliptiques. Pour un élément
semi-simple elliptique η ∈ ˜
G(F ), considérons les couples (G
, ,) où G
est une donnée endoscopique elliptique de (G, ˜
G, a) et ∈ ˜
G
(F ) est un élément semi-simple
elliptique qui correspond à η et dont le commutant connexe G
est quasi-déployé.
Disons que deux couples (G
1 , , 1 ) et (G
2 , , 2 ) sont équivalents si et seulement s’il
existe un isomorphisme ˜
α : ˜
G
1 → ˜
G
2 défini sur F et provenant d’une équivalence
entre G
1 et G
2 de sorte que 2 soit stablement conjugué à ˜
α( 1 ). On fixe un ensemble ˙
X
E (η) de représentants des classes d’équivalence de ces couples. Pour tout
(G
, ,) ∈ ˙
X
E (η), on fixe des données auxiliaires G
1 , . . . , Δ 1 (notons que G
est
forcément relevant) et un élément 1 ∈ ˜
G
1 (F ) qui relève .
Considérons d’abord le cas où η est fortement régulier et F est non archimédien. On a d’abord
– si ω n’est pas trivial sur Z G (η; F ), alors ˙
X
E (η) = ∅, cf. [48] lemme 4.4.C.
Supposons ω trivial sur Z G (η; F ). Fixons un ensemble de représentants ˙
X (η)
des classes de conjugaison par G(F ) dans la classe de conjugaison stable de η. On
définit les deux applications linéaires
(4)
C
˙
X (η)
→
C
˙
X
E (η)
(x η ) η ∈ ˙
X (η) → (y (G ,,) ) (G ,,)∈ ˙
X E (η)
où
y (G ,,) = d(θ
∗ )
1/2
η ∈ ˙
X (η)
Δ 1 ( 1 , η
)[Z G (η
; F ) : G η (F )]
−1 x η
(le Δ 1 est bien sûr celui de G
) ;
(5)
C
˙
X
E (η)
→
C
˙
X
( η)
(y (G ,,) ) (G ,,)∈ ˙
X E (η) → (x η ) η ∈ ˙
X (η)
où
x η = [Z G (η
; F ) : G η (F )]| ˙
X (η)|
−1 d(θ
∗ )
−1/2
(G ,,)∈ ˙
X E (η)
Δ 1 ( 1 , η
)
−1 y (G ,,) .