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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
L’assertion fondatrice de la théorie de l’endoscopie tordue est que ces deux applications linéaires sont inverses l’une de l’autre. On renvoie pour cette assertion à
Kottwitz–Shelstad ([48]) et à Labesse ([53]), bien que ces auteurs détaillent plutôt
le cas où le corps de base est un corps de nombres.
Dans le cas où F = R, on doit considérer un K-espace tordu. Pour η ∈
K ˜
G reg (R), on définit sans changement l’ensemble ˙
X
E (η). On fixe pour tout p ∈ Π
un ensemble de représentants ˙
X p (η) des classes de conjugaison par G p (R) dans
l’intersection de ˜
G p (R) avec la classe de conjugaison stable de η. On pose ˙
X (η) =
p∈Π ˙
X p (η). Avec ces définitions, les applications (4) et (5) sont encore inverses
l’une de l’autre. Comme on l’a dit en 1.11, c’est la raison d’être des K-espaces
tordus.
La correspondance entre éléments semi-simples elliptiques non fortement réguliers est plus compliquée. L’important pour nous est qu’elle forme un «bord»
satisfaisant à celle des éléments fortement réguliers. Notons ˜
G ss (F ) ell l’ensemble
des éléments semi-simples elliptiques de ˜
G(F ), pas forcément réguliers. Notons
˜
G ss (F ) ell / st-conj l’ensemble des classes de conjugaison stable dans ˜
G ss (F ) ell . Soit
G
une donnée endoscopique elliptique pour (G, ˜
G, a). On définit de même l’espace
˜
G
ss (F ) ell / st-conj. D’après le lemme 4.5, l’application N
˜
G
restreinte à ˜
G
ss (F ) ell
se factorise par cet ensemble de classes de conjugaison stable. A fortiori, l’application N
˜
G
, ˜
G se factorise de même. Dans le cas où F est non-archimédien, on
note ˜
G
ss (F )
˜
G
ell / st-conj l’ensemble des éléments de ˜
G
ss (F ) ell / st-conj dont l’image
par cette application appartient à l’image de ˜
G ab (F ) par N
˜
G . Dans le cas où
F = R et où on travaille avec des K-espaces tordus, on pose la même définition
en remplaçant ˜
G ab (R) par K ˜
G ab (R). Montrons que
(6) un élément ∈ ˜
G
ss (F ) ell correspond à un élément semi-simple de ˜
G(F ) (ou
de K ˜
G(R)) si et seulement si sa classe de conjugaison stable appartient à
˜
G
ss (F )
˜
G
ell / st-conj.
Preuve. Supposons qu’il existe un diagramme (, B
, T
, B, T, η). Pour X ∈ t
θ (F )
assez petit et en position générale et pour Y = ξ T,T (X), les éléments exp(Y )
et exp(X)η sont fortement réguliers et se correspondent. D’après la proposition
1.14(i), l’image par N
˜
G
, ˜
G de exp(Y ) appartient à l’image de ˜
G ab (F ) par N
˜
G .
Cette image étant fermée, N
˜
G
, ˜
G () lui appartient aussi et l’image de dans
˜
G
ss (F ) ell / st-conj appartient à ˜
G
ss (F )
˜
G
ell / st-conj. Inversement, supposons que cette
condition soit vérifiée. Supposons pour simplifier F non archimédien, l’extension
aux K-espaces étant similaire. Puisque est elliptique, on peut fixer un sous-tore
maximal T
de G
, défini sur F et elliptique dans G
. Pour Y ∈ t
(F ) assez petit et
en position générale, exp(Y ) est elliptique régulier et son image par N
˜
G
, ˜
G appartient à l’image de ˜
G ab (F ) par N
˜
G . Par la proposition 1.14(ii), il existe γ ∈ ˜
G(F ) reg
tel que (exp(Y ), γ) ∈ D. On peut fixer un diagramme joignant exp(Y ) et γ. Le
tore T
de ce diagramme est imposé : c’est le commutant de exp(Y ), donc c’est
le tore T
déjà introduit. Notons (exp(Y ), B
, T
, B, T, γ) ce diagramme. Puisque
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
L’assertion fondatrice de la théorie de l’endoscopie tordue est que ces deux applications linéaires sont inverses l’une de l’autre. On renvoie pour cette assertion à
Kottwitz–Shelstad ([48]) et à Labesse ([53]), bien que ces auteurs détaillent plutôt
le cas où le corps de base est un corps de nombres.
Dans le cas où F = R, on doit considérer un K-espace tordu. Pour η ∈
K ˜
G reg (R), on définit sans changement l’ensemble ˙
X
E (η). On fixe pour tout p ∈ Π
un ensemble de représentants ˙
X p (η) des classes de conjugaison par G p (R) dans
l’intersection de ˜
G p (R) avec la classe de conjugaison stable de η. On pose ˙
X (η) =
p∈Π ˙
X p (η). Avec ces définitions, les applications (4) et (5) sont encore inverses
l’une de l’autre. Comme on l’a dit en 1.11, c’est la raison d’être des K-espaces
tordus.
La correspondance entre éléments semi-simples elliptiques non fortement réguliers est plus compliquée. L’important pour nous est qu’elle forme un «bord»
satisfaisant à celle des éléments fortement réguliers. Notons ˜
G ss (F ) ell l’ensemble
des éléments semi-simples elliptiques de ˜
G(F ), pas forcément réguliers. Notons
˜
G ss (F ) ell / st-conj l’ensemble des classes de conjugaison stable dans ˜
G ss (F ) ell . Soit
G
une donnée endoscopique elliptique pour (G, ˜
G, a). On définit de même l’espace
˜
G
ss (F ) ell / st-conj. D’après le lemme 4.5, l’application N
˜
G
restreinte à ˜
G
ss (F ) ell
se factorise par cet ensemble de classes de conjugaison stable. A fortiori, l’application N
˜
G
, ˜
G se factorise de même. Dans le cas où F est non-archimédien, on
note ˜
G
ss (F )
˜
G
ell / st-conj l’ensemble des éléments de ˜
G
ss (F ) ell / st-conj dont l’image
par cette application appartient à l’image de ˜
G ab (F ) par N
˜
G . Dans le cas où
F = R et où on travaille avec des K-espaces tordus, on pose la même définition
en remplaçant ˜
G ab (R) par K ˜
G ab (R). Montrons que
(6) un élément ∈ ˜
G
ss (F ) ell correspond à un élément semi-simple de ˜
G(F ) (ou
de K ˜
G(R)) si et seulement si sa classe de conjugaison stable appartient à
˜
G
ss (F )
˜
G
ell / st-conj.
Preuve. Supposons qu’il existe un diagramme (, B
, T
, B, T, η). Pour X ∈ t
θ (F )
assez petit et en position générale et pour Y = ξ T,T (X), les éléments exp(Y )
et exp(X)η sont fortement réguliers et se correspondent. D’après la proposition
1.14(i), l’image par N
˜
G
, ˜
G de exp(Y ) appartient à l’image de ˜
G ab (F ) par N
˜
G .
Cette image étant fermée, N
˜
G
, ˜
G () lui appartient aussi et l’image de dans
˜
G
ss (F ) ell / st-conj appartient à ˜
G
ss (F )
˜
G
ell / st-conj. Inversement, supposons que cette
condition soit vérifiée. Supposons pour simplifier F non archimédien, l’extension
aux K-espaces étant similaire. Puisque est elliptique, on peut fixer un sous-tore
maximal T
de G
, défini sur F et elliptique dans G
. Pour Y ∈ t
(F ) assez petit et
en position générale, exp(Y ) est elliptique régulier et son image par N
˜
G
, ˜
G appartient à l’image de ˜
G ab (F ) par N
˜
G . Par la proposition 1.14(ii), il existe γ ∈ ˜
G(F ) reg
tel que (exp(Y ), γ) ∈ D. On peut fixer un diagramme joignant exp(Y ) et γ. Le
tore T
de ce diagramme est imposé : c’est le commutant de exp(Y ), donc c’est
le tore T
déjà introduit. Notons (exp(Y ), B
, T
, B, T, γ) ce diagramme. Puisque