I.4. Stabilité et image du transfert
93
exp(Y ) conserve (B
, T
) et Y ∈ t
(F ), conserve lui-aussi (B
, T
). De l’application ξ T,T résulte un isomorphisme t
θ (F ) → t
(F ). Soit X ∈ t
θ (F ) correspondant
à Y , posons η = exp(−X)γ. Par le même argument, η conserve (B, T ). Alors
(, B
, T
, B, T, η) est un diagramme.
D’après (1) ci-dessus, et en remarquant qu’un élément elliptique de ˜
G
(F ) ne
peut correspondre qu’à un élément elliptique de ˜
G(F ), on a une application
(7)
˜
G
ss (F )
˜
G
ell / st-conj → ˜
G ss (F ) ell / st-conj .
Munissons ˜
G ss (F ) ell de la topologie induite par celle de ˜
G(F ) et ˜
G ss (F ) ell / st-conj
de la topologie la moins fine pour laquelle la projection
˜
G ss (F ) ell → ˜
G ss (F ) ell / st-conj
est continue.
On munit de même ˜
G
ss (F ) ell / st-conj d’une topologie et ˜
G
ss (F )
˜
G
ell / st-conj de
la topologie induite.
Lemme. L’espace ˜
G ss (F ) ell / st-conj est séparé et localement compact. La projection
˜
G ss (F ) ell → ˜
G ss (F ) ell / st-conj
est ouverte. L’application (7) est continue et propre.
Preuve. Soient η 1 et η 2 deux éléments de ˜
G ss (F ) ell qui ne sont pas stablement
conjugués. On construit comme en 4.6 des voisinages ˜
U 1 et ˜
U 2 de η 1 et η 2 . La caractérisation du lemme 4.6(i) montre que l’on peut les construire disjoints. Ils sont
invariants par conjugaison stable. Alors leurs images dans ˜
G ss (F ) ell / st-conj sont
des voisinages disjoints des images de η 1 et η 2 . Pour un seul élément η, construisons un voisinage ˜
U comme en 4.6 issu d’un voisinage u de 0 dans g η (F ) qui est
compact modulo conjugaison par G η (F ). Alors son image dans ˜
G ss (F ) ell / st-conj
est un voisinage compact de l’image de η. Cela prouve les deux premières assertions de l’énoncé. Par ailleurs, l’image de ˜
U est égale à celle de exp(u)η. En
effet, un élément de ˜
U est conjugué par G(F ) à un élément exp(X)η[y] pour un
y ∈ ˙
Y(η) et X ∈ u η[y] . Si l’élément est semi-simple elliptique, il existe un sous-tore
maximal elliptique T de G η[y] tel que X ∈ t (F ). Parce que ce tore est elliptique,
il se transfère par le torseur ad y en un sous-tore elliptique de G η et notre élément est stablement conjugué à un élément de exp(u)η. Cela prouve l’assertion.
Mais alors l’image de exp(u)η dans ˜
G ss (F ) ell / st-conj est un voisinage de celle de
η. Puisqu’on peut prendre u aussi petit que l’on veut, modulo conjugaison par
G η (F ), la projection ˜
G ss (F ) ell → ˜
G ss (F ) ell / st-conj est ouverte. Puisque l’application ˜
G
ss (F ) ell → ˜
G
ss (F ) ell / st-conj est ouverte, il suffit, pour prouver la continuité
de (7), de prouver que l’application composée ˜
G
ss (F ) ell → ˜
G ss (F ) ell / st-conj l’est.
Soient ∈ ˜
G
ss (F ) ell et η ∈ ˜
G ss (F ) ell qui se correspondent. Pour tout élément
de ˜
G
ss (F ) ell assez proche de , il y a un sous-tore elliptique T
de G
tel que
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exp(Y ) conserve (B
, T
) et Y ∈ t
(F ), conserve lui-aussi (B
, T
). De l’application ξ T,T résulte un isomorphisme t
θ (F ) → t
(F ). Soit X ∈ t
θ (F ) correspondant
à Y , posons η = exp(−X)γ. Par le même argument, η conserve (B, T ). Alors
(, B
, T
, B, T, η) est un diagramme.
D’après (1) ci-dessus, et en remarquant qu’un élément elliptique de ˜
G
(F ) ne
peut correspondre qu’à un élément elliptique de ˜
G(F ), on a une application
(7)
˜
G
ss (F )
˜
G
ell / st-conj → ˜
G ss (F ) ell / st-conj .
Munissons ˜
G ss (F ) ell de la topologie induite par celle de ˜
G(F ) et ˜
G ss (F ) ell / st-conj
de la topologie la moins fine pour laquelle la projection
˜
G ss (F ) ell → ˜
G ss (F ) ell / st-conj
est continue.
On munit de même ˜
G
ss (F ) ell / st-conj d’une topologie et ˜
G
ss (F )
˜
G
ell / st-conj de
la topologie induite.
Lemme. L’espace ˜
G ss (F ) ell / st-conj est séparé et localement compact. La projection
˜
G ss (F ) ell → ˜
G ss (F ) ell / st-conj
est ouverte. L’application (7) est continue et propre.
Preuve. Soient η 1 et η 2 deux éléments de ˜
G ss (F ) ell qui ne sont pas stablement
conjugués. On construit comme en 4.6 des voisinages ˜
U 1 et ˜
U 2 de η 1 et η 2 . La caractérisation du lemme 4.6(i) montre que l’on peut les construire disjoints. Ils sont
invariants par conjugaison stable. Alors leurs images dans ˜
G ss (F ) ell / st-conj sont
des voisinages disjoints des images de η 1 et η 2 . Pour un seul élément η, construisons un voisinage ˜
U comme en 4.6 issu d’un voisinage u de 0 dans g η (F ) qui est
compact modulo conjugaison par G η (F ). Alors son image dans ˜
G ss (F ) ell / st-conj
est un voisinage compact de l’image de η. Cela prouve les deux premières assertions de l’énoncé. Par ailleurs, l’image de ˜
U est égale à celle de exp(u)η. En
effet, un élément de ˜
U est conjugué par G(F ) à un élément exp(X)η[y] pour un
y ∈ ˙
Y(η) et X ∈ u η[y] . Si l’élément est semi-simple elliptique, il existe un sous-tore
maximal elliptique T de G η[y] tel que X ∈ t (F ). Parce que ce tore est elliptique,
il se transfère par le torseur ad y en un sous-tore elliptique de G η et notre élément est stablement conjugué à un élément de exp(u)η. Cela prouve l’assertion.
Mais alors l’image de exp(u)η dans ˜
G ss (F ) ell / st-conj est un voisinage de celle de
η. Puisqu’on peut prendre u aussi petit que l’on veut, modulo conjugaison par
G η (F ), la projection ˜
G ss (F ) ell → ˜
G ss (F ) ell / st-conj est ouverte. Puisque l’application ˜
G
ss (F ) ell → ˜
G
ss (F ) ell / st-conj est ouverte, il suffit, pour prouver la continuité
de (7), de prouver que l’application composée ˜
G
ss (F ) ell → ˜
G ss (F ) ell / st-conj l’est.
Soient ∈ ˜
G
ss (F ) ell et η ∈ ˜
G ss (F ) ell qui se correspondent. Pour tout élément
de ˜
G
ss (F ) ell assez proche de , il y a un sous-tore elliptique T
de G
tel que