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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
= exp(Y ), avec Y ∈ t
(F ) et Y proche de 0. Puisqu’il n’y a à conjugaison près
qu’un nombre fini de tores elliptiques T
, on peut fixer celui-ci. On voit en précisant
ce que l’on a dit plus haut que l’on peut fixer un diagramme (, B
, T
, B, T, η) où
T
est le tore fixé. En fixant une section de l’homomorphisme ξ T,T : t(F ) → t
(F ),
on voit que, quand Y tend vers 0 dans t
(F ), l’élément exp(Y ) correspond à un
élément exp(X)η avec X ∈ t(F ) tendant vers 0. Cela prouve la continuité de
(7). Soit maintenant η ∈ ˜
G ss (F ) ell . Fixons un ensemble de représentants X des
classes de conjugaison par G
(F ) dans l’ensemble des éléments de ˜
G
ss (F ) ell qui
correspondent à η. C’est un ensemble fini puisqu’il est en tout cas inclus dans
un ensemble fini de classes de conjugaison par G( ¯
F ). Soit ( n , η n ) n∈N une suite de
couples qui se correspondent dans ˜
G
ss (F ) ell × ˜
G ss (F ) ell telle que η n tend vers η. Un
raisonnement similaire à celui de la preuve du lemme 1.10(ii) montre que, quitte
à remplacer n par un élément stablement conjugué, on peut supposer que n appartient à un voisinage arbitraire de X quand n est assez grand. Autrement dit,
l’image dans ˜
G
ss (F ) ell / st-conj d’un voisinage de X contient l’image réciproque
par (7) d’un voisinage assez petit de l’image de η dans ˜
G ss (F ) ell / st-conj. Cela
entraîne que (7) est propre.
On peut préciser la dernière assertion de la façon suivante. Soit η ∈ ˜
G ss (F ) ell .
On fixe comme plus haut un ensemble ˙
X
E (η). Pour tout (G
, ,) ∈ ˙
X
E (η), fixons un
voisinage U
de dans ˜
G
(F ). Alors il existe un voisinage U de η dans ˜
G(F ) tel que,
pour tout γ ∈ U elliptique régulier, on peut choisir pour ˙
X
E (γ) un ensemble tel
que, pour tout élément (G
, δ) de cet ensemble, il existe tel que (G
, ,) ∈ ˙
X
E (η)
et δ ∈ U
.
I.4.10 Rappels sur la transformation de Fourier et l’endoscopie
Supposons F non-archimédien, ˜
G = G et ω = 1. La théorie de l’endoscopie vaut
aussi pour les algèbres de Lie, avec quelques simplifications. Par exemple, pour une
donnée endoscopique G
, les données auxiliaires G
1 , C 1 et ˆ
ξ 1 ne servent plus à rien.
Modulo le choix d’un facteur de transfert, on peut poser C
∞
c (g
) = C
∞
c (g
(F )).
Fixons une transformation de Fourier dans C
∞
c (g(F )) comme en 4.1. Elle en détermine une dans C
∞
c (g
(F )), cf. [79]. Elle se quotiente en une transformation de
SI(g
(F )). On a
(1) il existe un nombre complexe non nul γ(g) tel que, pour toute donnée endoscopique G
et toutes f ∈ I(g(F )), f
∈ SI(g
(F )), l’égalité f
= transfert(f )
équivaut à γ(g
) ˆ
f
= transfert(γ(g) ˆ
f ).
Arthur a prouvé en [13] lemme 3.4 que
(2) l’homomorphisme de transfert
I(g(F )) → ⊕ G ∈E(G) SI(g
(F ))
se restreint en un isomorphisme
I cusp (g(F )) ⊕ G ∈E(G) SI cusp (g
(F ))
Aut(G
) .
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
= exp(Y ), avec Y ∈ t
(F ) et Y proche de 0. Puisqu’il n’y a à conjugaison près
qu’un nombre fini de tores elliptiques T
, on peut fixer celui-ci. On voit en précisant
ce que l’on a dit plus haut que l’on peut fixer un diagramme (, B
, T
, B, T, η) où
T
est le tore fixé. En fixant une section de l’homomorphisme ξ T,T : t(F ) → t
(F ),
on voit que, quand Y tend vers 0 dans t
(F ), l’élément exp(Y ) correspond à un
élément exp(X)η avec X ∈ t(F ) tendant vers 0. Cela prouve la continuité de
(7). Soit maintenant η ∈ ˜
G ss (F ) ell . Fixons un ensemble de représentants X des
classes de conjugaison par G
(F ) dans l’ensemble des éléments de ˜
G
ss (F ) ell qui
correspondent à η. C’est un ensemble fini puisqu’il est en tout cas inclus dans
un ensemble fini de classes de conjugaison par G( ¯
F ). Soit ( n , η n ) n∈N une suite de
couples qui se correspondent dans ˜
G
ss (F ) ell × ˜
G ss (F ) ell telle que η n tend vers η. Un
raisonnement similaire à celui de la preuve du lemme 1.10(ii) montre que, quitte
à remplacer n par un élément stablement conjugué, on peut supposer que n appartient à un voisinage arbitraire de X quand n est assez grand. Autrement dit,
l’image dans ˜
G
ss (F ) ell / st-conj d’un voisinage de X contient l’image réciproque
par (7) d’un voisinage assez petit de l’image de η dans ˜
G ss (F ) ell / st-conj. Cela
entraîne que (7) est propre.
On peut préciser la dernière assertion de la façon suivante. Soit η ∈ ˜
G ss (F ) ell .
On fixe comme plus haut un ensemble ˙
X
E (η). Pour tout (G
, ,) ∈ ˙
X
E (η), fixons un
voisinage U
de dans ˜
G
(F ). Alors il existe un voisinage U de η dans ˜
G(F ) tel que,
pour tout γ ∈ U elliptique régulier, on peut choisir pour ˙
X
E (γ) un ensemble tel
que, pour tout élément (G
, δ) de cet ensemble, il existe tel que (G
, ,) ∈ ˙
X
E (η)
et δ ∈ U
.
I.4.10 Rappels sur la transformation de Fourier et l’endoscopie
Supposons F non-archimédien, ˜
G = G et ω = 1. La théorie de l’endoscopie vaut
aussi pour les algèbres de Lie, avec quelques simplifications. Par exemple, pour une
donnée endoscopique G
, les données auxiliaires G
1 , C 1 et ˆ
ξ 1 ne servent plus à rien.
Modulo le choix d’un facteur de transfert, on peut poser C
∞
c (g
) = C
∞
c (g
(F )).
Fixons une transformation de Fourier dans C
∞
c (g(F )) comme en 4.1. Elle en détermine une dans C
∞
c (g
(F )), cf. [79]. Elle se quotiente en une transformation de
SI(g
(F )). On a
(1) il existe un nombre complexe non nul γ(g) tel que, pour toute donnée endoscopique G
et toutes f ∈ I(g(F )), f
∈ SI(g
(F )), l’égalité f
= transfert(f )
équivaut à γ(g
) ˆ
f
= transfert(γ(g) ˆ
f ).
Arthur a prouvé en [13] lemme 3.4 que
(2) l’homomorphisme de transfert
I(g(F )) → ⊕ G ∈E(G) SI(g
(F ))
se restreint en un isomorphisme
I cusp (g(F )) ⊕ G ∈E(G) SI cusp (g
(F ))
Aut(G
) .