I.4. Stabilité et image du transfert
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Remarques.
(3) L’action de Aut(G
) est définie comme en 2.6. On peut définir une action
intrinsèque de Aut(G
) dans g
(F ) mais l’action que l’on considère est cette
action intrinsèque tordue par un caractère qui tient compte du facteur de
transfert.
(4) Supposons G quasi-déployé. Par définition, SI cusp (g(F )) est le sous-espace de
SI(g(F )) annulé par les applications f → f M pour tout Levi propre. C’est
donc l’image du sous-espace des f ∈ C
∞
c (g(F )) telles que S
G (X, f ) = 0
pour tout X régulier dans une sous-algèbre de Levi propre. Ce sous-espace
contient évidemment C
∞
cusp (g(F )) mais ne lui est pas égal. En fait, l’assertion
(2) montre que SI cusp (g(F )) est bien l’image de C
∞
cusp (g(F )). On reviendra
sur ce point en 4.15.
Soient maintenant G et G
deux groupes en situation d’endoscopie non
standard, cf. [79] 1.7. Rappelons que G et G
sont quasi-déployés et simplement connexes et qu’il y a une application de transfert entre C
∞
c (g(F )) et
C
∞
c (g
(F )) (avec facteur de transfert égal à 1 sur les couples qui se correspondent). On a
(5) l’homomorphisme de transfert définit des isomorphismes
SI(g(F )) SI(g
(F )),
SI cusp (g(F )) SI cusp (g
(F )),
qui commutent à la transformation de Fourier.
I.4.11 Image du transfert
On fixe un ensemble de représentants E( ˜
G, a) des classes d’équivalence de données
endoscopiques elliptiques et relevantes de (G, ˜
G, a). On l’étend en un ensemble
des représentants E + ( ˜
G, a) de représentants des classes d’équivalence de couples
( ˜
M , M
) où ˜
M est un espace de Levi de ˜
G et M
est une donnée endoscopique elliptique et relevante pour ( ˜
M , a M ). On note I
E
+ ( ˜
G(F ), ω) le sous-espace des éléments
(f ( ˜
M,M ) ) ∈ ⊕ ( ˜
M,M )∈E+( ˜
G,a) SI(M
) ⊗ Mes(M
(F )) qui vérifient les conditions suivantes :
(1) pour tout ( ˜
M , M
) ∈ E + ( ˜
G, a), f ( ˜
M,M ) est invariant par Aut( ˜
M , M
) ;
(2) soit G
∈ E( ˜
G, a) et M
un Levi de G
qui est relevant ; soit ( ˜
M , M
) l’élément
de E + ( ˜
G, a) qui lui est associé par la construction de 3.4 ; alors (f G ) ˜
M =
f ( ˜
M,M ) ;
(3) soit G
∈E( ˜
G,a) et M
un Levi de G
qui n’est pas relevant ; alors (f G ) ˜
M = 0.
D’après (2) et 3.3(3), la projection naturelle de I
E
+ ( ˜
G(F ), ω) dans
⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI(G
) ⊗ Mes(G
(F ))
est injective. On note I
E ( ˜
G(F ), ω) l’image de cette projection.
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Remarques.
(3) L’action de Aut(G
) est définie comme en 2.6. On peut définir une action
intrinsèque de Aut(G
) dans g
(F ) mais l’action que l’on considère est cette
action intrinsèque tordue par un caractère qui tient compte du facteur de
transfert.
(4) Supposons G quasi-déployé. Par définition, SI cusp (g(F )) est le sous-espace de
SI(g(F )) annulé par les applications f → f M pour tout Levi propre. C’est
donc l’image du sous-espace des f ∈ C
∞
c (g(F )) telles que S
G (X, f ) = 0
pour tout X régulier dans une sous-algèbre de Levi propre. Ce sous-espace
contient évidemment C
∞
cusp (g(F )) mais ne lui est pas égal. En fait, l’assertion
(2) montre que SI cusp (g(F )) est bien l’image de C
∞
cusp (g(F )). On reviendra
sur ce point en 4.15.
Soient maintenant G et G
deux groupes en situation d’endoscopie non
standard, cf. [79] 1.7. Rappelons que G et G
sont quasi-déployés et simplement connexes et qu’il y a une application de transfert entre C
∞
c (g(F )) et
C
∞
c (g
(F )) (avec facteur de transfert égal à 1 sur les couples qui se correspondent). On a
(5) l’homomorphisme de transfert définit des isomorphismes
SI(g(F )) SI(g
(F )),
SI cusp (g(F )) SI cusp (g
(F )),
qui commutent à la transformation de Fourier.
I.4.11 Image du transfert
On fixe un ensemble de représentants E( ˜
G, a) des classes d’équivalence de données
endoscopiques elliptiques et relevantes de (G, ˜
G, a). On l’étend en un ensemble
des représentants E + ( ˜
G, a) de représentants des classes d’équivalence de couples
( ˜
M , M
) où ˜
M est un espace de Levi de ˜
G et M
est une donnée endoscopique elliptique et relevante pour ( ˜
M , a M ). On note I
E
+ ( ˜
G(F ), ω) le sous-espace des éléments
(f ( ˜
M,M ) ) ∈ ⊕ ( ˜
M,M )∈E+( ˜
G,a) SI(M
) ⊗ Mes(M
(F )) qui vérifient les conditions suivantes :
(1) pour tout ( ˜
M , M
) ∈ E + ( ˜
G, a), f ( ˜
M,M ) est invariant par Aut( ˜
M , M
) ;
(2) soit G
∈ E( ˜
G, a) et M
un Levi de G
qui est relevant ; soit ( ˜
M , M
) l’élément
de E + ( ˜
G, a) qui lui est associé par la construction de 3.4 ; alors (f G ) ˜
M =
f ( ˜
M,M ) ;
(3) soit G
∈E( ˜
G,a) et M
un Levi de G
qui n’est pas relevant ; alors (f G ) ˜
M = 0.
D’après (2) et 3.3(3), la projection naturelle de I
E
+ ( ˜
G(F ), ω) dans
⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI(G
) ⊗ Mes(G
(F ))
est injective. On note I
E ( ˜
G(F ), ω) l’image de cette projection.