96
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Dans le cas où F = R, on travaille avec un K-espace tordu K ˜
G. Les espaces I( ˜
G(F ), ω) et I cusp ( ˜
G(F ), ω) ont des analogues évidents I(K ˜
G(R), ω) et
I cusp (K ˜
G(R), ω). Il est peut-être judicieux de noter I
E
+ (K ˜
G(R),ω) et I
E (K ˜
G(R),ω)
les espaces I
E
+ ( ˜
G(R), ω) et I
E ( ˜
G(R), ω), bien que leurs définitions ne fassent pas
référence au K-espace.
Proposition.
(i) Supposons F non archimédien. Alors l’application de transfert
I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) → ⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI(G
) ⊗ Mes(G
(F ))
est injective et a pour image l’espace I
E ( ˜
G(F ), ω). L’image de
I cusp ( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F ))
est
⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI cusp (G
)
Aut(G
)
⊗ Mes(G
(F )).
(ii) Supposons F = R. L’assertion devient vraie si on remplace I( ˜
G(F ), ω),
I cusp ( ˜
G(F ), ω) et I
E ( ˜
G(F ), ω) par
I(K ˜
G(R), ω), I cusp (K ˜
G(R), ω) et I
E (K ˜
G(R), ω).
La preuve occupe les paragraphes 4.12 et 4.13. Remarquons que l’on peut
définir une application de transfert
(4)
I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) →
( ˜
M,M )∈E+( ˜
G,a) SI(M
) ⊗ Mes(M
(F ))
f
→
(f ( ˜
M,M ) ) ( ˜
M,M )∈E+( ˜
G,a)
où f ( ˜
M,M ) est le transfert à M
de f ˜
M,ω ∈ I( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )) (on peut
évidemment remplacer les I( ˜
G(F ), ω) etc. . . par des I(K ˜
G(R), ω) etc. . . dans le
cas réel). L’application du (ii) de l’énoncé est la composée de cette application
et d’une projection naturelle. Or il est clair par construction et d’après 2.6 que
l’image de l’application (4) est contenue dans l’espace I
E
+ ( ˜
G(F ), ω). Donc l’application de transfert de l’énoncé prend ses valeurs dans I
E ( ˜
G(F ), ω). D’autre part,
la première assertion de l’énoncé équivaut à dire que l’image de l’application (4)
est I
E
+ ( ˜
G(F ), ω).
Dans les deux paragraphes suivants, on suppose fixées des mesures de Haar
sur tous les groupes intervenant, ce qui nous débarrasse des espaces de mesures.
I.4.12 Preuve de la proposition 4.11 dans le cas non-archimédien
On a défini en 4.2 la filtration (F
n I( ˜
G(F ), ω)) n∈N . Notons F
n I
E
+ ( ˜
G(F ), ω) le
sous-espace des éléments (f ( ˜
L,L ) ) ∈ I
E
+ ( ˜
G(F ), ω) tels que f ( ˜
L,L ) = 0 pour tout
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Dans le cas où F = R, on travaille avec un K-espace tordu K ˜
G. Les espaces I( ˜
G(F ), ω) et I cusp ( ˜
G(F ), ω) ont des analogues évidents I(K ˜
G(R), ω) et
I cusp (K ˜
G(R), ω). Il est peut-être judicieux de noter I
E
+ (K ˜
G(R),ω) et I
E (K ˜
G(R),ω)
les espaces I
E
+ ( ˜
G(R), ω) et I
E ( ˜
G(R), ω), bien que leurs définitions ne fassent pas
référence au K-espace.
Proposition.
(i) Supposons F non archimédien. Alors l’application de transfert
I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) → ⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI(G
) ⊗ Mes(G
(F ))
est injective et a pour image l’espace I
E ( ˜
G(F ), ω). L’image de
I cusp ( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F ))
est
⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI cusp (G
)
Aut(G
)
⊗ Mes(G
(F )).
(ii) Supposons F = R. L’assertion devient vraie si on remplace I( ˜
G(F ), ω),
I cusp ( ˜
G(F ), ω) et I
E ( ˜
G(F ), ω) par
I(K ˜
G(R), ω), I cusp (K ˜
G(R), ω) et I
E (K ˜
G(R), ω).
La preuve occupe les paragraphes 4.12 et 4.13. Remarquons que l’on peut
définir une application de transfert
(4)
I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) →
( ˜
M,M )∈E+( ˜
G,a) SI(M
) ⊗ Mes(M
(F ))
f
→
(f ( ˜
M,M ) ) ( ˜
M,M )∈E+( ˜
G,a)
où f ( ˜
M,M ) est le transfert à M
de f ˜
M,ω ∈ I( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )) (on peut
évidemment remplacer les I( ˜
G(F ), ω) etc. . . par des I(K ˜
G(R), ω) etc. . . dans le
cas réel). L’application du (ii) de l’énoncé est la composée de cette application
et d’une projection naturelle. Or il est clair par construction et d’après 2.6 que
l’image de l’application (4) est contenue dans l’espace I
E
+ ( ˜
G(F ), ω). Donc l’application de transfert de l’énoncé prend ses valeurs dans I
E ( ˜
G(F ), ω). D’autre part,
la première assertion de l’énoncé équivaut à dire que l’image de l’application (4)
est I
E
+ ( ˜
G(F ), ω).
Dans les deux paragraphes suivants, on suppose fixées des mesures de Haar
sur tous les groupes intervenant, ce qui nous débarrasse des espaces de mesures.
I.4.12 Preuve de la proposition 4.11 dans le cas non-archimédien
On a défini en 4.2 la filtration (F
n I( ˜
G(F ), ω)) n∈N . Notons F
n I
E
+ ( ˜
G(F ), ω) le
sous-espace des éléments (f ( ˜
L,L ) ) ∈ I
E
+ ( ˜
G(F ), ω) tels que f ( ˜
L,L ) = 0 pour tout