I.4. Stabilité et image du transfert
97
espace de Levi ˜
L tel que a ˜
L > n. Ces sous-espaces forment une filtration de
I
E
+ ( ˜
G(F ), ω). Notons GrI( ˜
G(F ), ω) et GrI
E
+ ( ˜
G(F ), ω) les gradués associés à ces
filtrations. Fixons un ensemble de représentants L des classes de conjugaison par
G(F ) d’espaces de Levi de ˜
G. D’après le lemme 4.2, on a l’isomorphisme
(1)
GrI( ˜
G(F ), ω) ⊕ ˜
M ∈L I cusp ( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M ) .
On a d’autre part une inclusion naturelle
(2)
GrI
E
+ ( ˜
G(F ), ω) ⊂ ⊕ ˜
M∈L (⊕ M ∈E( ˜
M,a) SI cusp (M
)
Aut(M
) )
W ( ˜
M )
= ⊕ ( ˜
M,M )∈E+( ˜
G,a) SI cusp (M
)
Aut( ˜
M,M
) .
L’ application de transfert (4) de 4.11 est compatible aux filtrations et l’application
qui en résulte entre les gradués n’est autre que la somme des applications naturelles
de transfert. Supposons prouvé que le transfert induit un isomorphisme
(3)
I cusp ( ˜
G(F ), ω) ⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI cusp (G
)
Aut(G
) .
On a alors un isomorphisme analogue
I cusp ( ˜
M (F ), ω) ⊕ M ∈E( ˜
M,a) SI cusp (M
)
Aut(M
) .
pour chaque ˜
M ∈ L. Le transfert est compatible aux actions de W ( ˜
M ), on peut
donc remplacer les deux membres ci-dessus par leurs sous-espaces d’invariants par
W ( ˜
M ). On voit alors que l’inclusion (2) est elle-aussi une égalité et que l’application graduée GrI( ˜
G(F ), ω) → GrI
E
+ ( ˜
G(F ), ω) est un isomorphisme. Le (i) de la
proposition 4.11 en résulte.
Il faut montrer que (3) est un isomorphisme. Rappelons d’abord une propriété
fondamentale. Notons C
∞
ell ( ˜
G(F )) le sous-espace de C
∞
c ( ˜
G(F )) formé des éléments
à support elliptique fortement régulier et notons I ell ( ˜
G(F ), ω) son image dans
I( ˜
G(F )). On définit de façon similaire des espaces SI ˜
G−ell (G
) en remplaçant la
condition fortement régulier par fortement ˜
G-régulier. Alors
(4) le transfert définit un isomorphisme
I ell ( ˜
G(F ), ω) ⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI ˜
G−ell (G
)
Aut(G
) .
Cela résulte des faits suivants. D’abord, les η ∈ ˜
G(F ) elliptiques et fortement
réguliers pour lesquels ω est non trivial sur Z G (η; F ) ne comptent pas : du côté
de I ell ( ˜
G(F ), ω), les intégrales orbitales sont toutes nulles au voisinage d’un tel
point ; et il ne leur correspond rien du côté droit de la formule ci-dessus. Fixons
η ∈ ˜
G(F ) ell tel que ω soit trivial sur Z G (η; F ). Pour chaque G
∈ E( ˜
G, a), on
fixe des données auxiliaires G
1 , . . . , Δ 1 . Soit f ∈ C
∞
ell ( ˜
G(F )). Alors les familles
(I
˜
G (η
, ω, f)) η ∈ ˙
X (η) et (S
˜
G
1 ( 1 , f
G
1 )) (G ,,)∈ ˙
X E (η) se déduisent l’une de l’autre par
les transformations bijectives (4) et (5) de 4.9.
97
espace de Levi ˜
L tel que a ˜
L > n. Ces sous-espaces forment une filtration de
I
E
+ ( ˜
G(F ), ω). Notons GrI( ˜
G(F ), ω) et GrI
E
+ ( ˜
G(F ), ω) les gradués associés à ces
filtrations. Fixons un ensemble de représentants L des classes de conjugaison par
G(F ) d’espaces de Levi de ˜
G. D’après le lemme 4.2, on a l’isomorphisme
(1)
GrI( ˜
G(F ), ω) ⊕ ˜
M ∈L I cusp ( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M ) .
On a d’autre part une inclusion naturelle
(2)
GrI
E
+ ( ˜
G(F ), ω) ⊂ ⊕ ˜
M∈L (⊕ M ∈E( ˜
M,a) SI cusp (M
)
Aut(M
) )
W ( ˜
M )
= ⊕ ( ˜
M,M )∈E+( ˜
G,a) SI cusp (M
)
Aut( ˜
M,M
) .
L’ application de transfert (4) de 4.11 est compatible aux filtrations et l’application
qui en résulte entre les gradués n’est autre que la somme des applications naturelles
de transfert. Supposons prouvé que le transfert induit un isomorphisme
(3)
I cusp ( ˜
G(F ), ω) ⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI cusp (G
)
Aut(G
) .
On a alors un isomorphisme analogue
I cusp ( ˜
M (F ), ω) ⊕ M ∈E( ˜
M,a) SI cusp (M
)
Aut(M
) .
pour chaque ˜
M ∈ L. Le transfert est compatible aux actions de W ( ˜
M ), on peut
donc remplacer les deux membres ci-dessus par leurs sous-espaces d’invariants par
W ( ˜
M ). On voit alors que l’inclusion (2) est elle-aussi une égalité et que l’application graduée GrI( ˜
G(F ), ω) → GrI
E
+ ( ˜
G(F ), ω) est un isomorphisme. Le (i) de la
proposition 4.11 en résulte.
Il faut montrer que (3) est un isomorphisme. Rappelons d’abord une propriété
fondamentale. Notons C
∞
ell ( ˜
G(F )) le sous-espace de C
∞
c ( ˜
G(F )) formé des éléments
à support elliptique fortement régulier et notons I ell ( ˜
G(F ), ω) son image dans
I( ˜
G(F )). On définit de façon similaire des espaces SI ˜
G−ell (G
) en remplaçant la
condition fortement régulier par fortement ˜
G-régulier. Alors
(4) le transfert définit un isomorphisme
I ell ( ˜
G(F ), ω) ⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI ˜
G−ell (G
)
Aut(G
) .
Cela résulte des faits suivants. D’abord, les η ∈ ˜
G(F ) elliptiques et fortement
réguliers pour lesquels ω est non trivial sur Z G (η; F ) ne comptent pas : du côté
de I ell ( ˜
G(F ), ω), les intégrales orbitales sont toutes nulles au voisinage d’un tel
point ; et il ne leur correspond rien du côté droit de la formule ci-dessus. Fixons
η ∈ ˜
G(F ) ell tel que ω soit trivial sur Z G (η; F ). Pour chaque G
∈ E( ˜
G, a), on
fixe des données auxiliaires G
1 , . . . , Δ 1 . Soit f ∈ C
∞
ell ( ˜
G(F )). Alors les familles
(I
˜
G (η
, ω, f)) η ∈ ˙
X (η) et (S
˜
G
1 ( 1 , f
G
1 )) (G ,,)∈ ˙
X E (η) se déduisent l’une de l’autre par
les transformations bijectives (4) et (5) de 4.9.