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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
L’application (3) est injective : si f ∈ I cusp ( ˜
G(F ), ω) a un transfert nul, il
résulte de (4) (ou plus exactement de sa preuve) que I
˜
G (γ, ω, f ) = 0 pour tout
élément fortement régulier et elliptique ; la cuspidalité de f entraîne alors f = 0.
La preuve de la surjectivité nécessite quelques préparatifs. Fixons η ∈
˜
G ss (F ) ell et une forme intérieure quasi-déployée ¯
G de G η . On fixe un voisinage
¯
u de 0 dans ¯ g(F ) vérifiant les conditions de 4.6. et on utilise les constructions de
ce paragraphe. La descente d’Harish-Chandra nous fournit une application
(5)
I cusp ( ˜
U , ω) → ⊕ y∈ ˙
Y(η) I cusp (u η[y] , ω)
ZG(η[y],F )
f
→
(f y ) y∈ ˙
Y(η)
.
Son image est formée des familles (f y ) y∈ ˙
Y(η) telles que f y = f y si η[y] = η[y
].
Fixons une transformation de Fourier sur C
∞
c (¯ g(F )), dont on déduit de telles
transformations dans chaque C
∞
c (g η[y] (F )). On vérifie que ces transformations
sont les mêmes dans le cas où η[y] = η[y
].
Pour tout (G
, ,) ∈ ˙
X
E (η), on fixe un diagramme joignant à un élément η[y]
(on peut d’ailleurs supposer η[y] = η mais peu importe). On utilise les constructions de 4.9 pour ce diagramme, en les affectant au besoin d’indices . C’est-à-dire
que l’on introduit la donnée endoscopique ¯
G
= ( ¯
G
, ¯
G
, ¯
s ) de ¯
G SC . Les isomorphismes décrits en 4.9 fournissent une correspondance entre classes de conjugaison
stable semi-simples dans g
(F ) et dans ¯ g(F ). On note u
l’ensemble des éléments
de g
(F ) dont la partie semi-simple a une classe de conjugaison stable qui correspond à celle d’un élément de ¯
u. En scindant la projection g
1,,1 (F ) → g
(F ) comme
en 4.8, on identifie u
à un sous-ensemble de g
1,,1 (F ). On note ˜
U
1,,1 l’ensemble
des éléments de ˜
G
1 (F ) dont la partie semi-simple est stablement conjuguée à un
élément de C 1 (F ) exp(u ) 1 . Rappelons qu’un élément de Aut(G
) est défini par
un élément x ∈ ˆ
G, lequel détermine un automorphisme ˜
α x de ˜
G
. On note ˜
U
1,,1
la réunion des ˜
α x ( ˜
U
1,,1 ) pour tous les x ∈ Aut(G
). Puisque les fonctions que l’on
considère sur ˜
G
1 (F ) se transforment selon le caractère λ 1 de C 1 (F ), la descente
définit une application
SI λ1,cusp ( ˜
U
1,,1 ) → SI cusp (u
).
D’après 4.8, son image est le sous-espace des éléments de SI cusp (u
) qui se transforment selon un certain caractère de Ξ
ΓF
, où Ξ = Z G ()/G
.
L’espace SI λ1,cusp ( ˜
U
1,,1 ) est stable par l’action de Aut(G
). Nous voulons
déterminer l’image de l’application
(6)
SI λ1,cusp ( ˜
U
1,,1 )
Aut(G
)
→ SI cusp (u
).
Pour x ∈ Aut(G
), l’action de x n’impose une condition au voisinage de 1 que si
˜
α x () et sont stablement conjugués. S’il en est ainsi, un élément g
∈ G
qui établit
cette conjugaison stable définit un torseur intérieur entre les commutants connexes
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
L’application (3) est injective : si f ∈ I cusp ( ˜
G(F ), ω) a un transfert nul, il
résulte de (4) (ou plus exactement de sa preuve) que I
˜
G (γ, ω, f ) = 0 pour tout
élément fortement régulier et elliptique ; la cuspidalité de f entraîne alors f = 0.
La preuve de la surjectivité nécessite quelques préparatifs. Fixons η ∈
˜
G ss (F ) ell et une forme intérieure quasi-déployée ¯
G de G η . On fixe un voisinage
¯
u de 0 dans ¯ g(F ) vérifiant les conditions de 4.6. et on utilise les constructions de
ce paragraphe. La descente d’Harish-Chandra nous fournit une application
(5)
I cusp ( ˜
U , ω) → ⊕ y∈ ˙
Y(η) I cusp (u η[y] , ω)
ZG(η[y],F )
f
→
(f y ) y∈ ˙
Y(η)
.
Son image est formée des familles (f y ) y∈ ˙
Y(η) telles que f y = f y si η[y] = η[y
].
Fixons une transformation de Fourier sur C
∞
c (¯ g(F )), dont on déduit de telles
transformations dans chaque C
∞
c (g η[y] (F )). On vérifie que ces transformations
sont les mêmes dans le cas où η[y] = η[y
].
Pour tout (G
, ,) ∈ ˙
X
E (η), on fixe un diagramme joignant à un élément η[y]
(on peut d’ailleurs supposer η[y] = η mais peu importe). On utilise les constructions de 4.9 pour ce diagramme, en les affectant au besoin d’indices . C’est-à-dire
que l’on introduit la donnée endoscopique ¯
G
= ( ¯
G
, ¯
G
, ¯
s ) de ¯
G SC . Les isomorphismes décrits en 4.9 fournissent une correspondance entre classes de conjugaison
stable semi-simples dans g
(F ) et dans ¯ g(F ). On note u
l’ensemble des éléments
de g
(F ) dont la partie semi-simple a une classe de conjugaison stable qui correspond à celle d’un élément de ¯
u. En scindant la projection g
1,,1 (F ) → g
(F ) comme
en 4.8, on identifie u
à un sous-ensemble de g
1,,1 (F ). On note ˜
U
1,,1 l’ensemble
des éléments de ˜
G
1 (F ) dont la partie semi-simple est stablement conjuguée à un
élément de C 1 (F ) exp(u ) 1 . Rappelons qu’un élément de Aut(G
) est défini par
un élément x ∈ ˆ
G, lequel détermine un automorphisme ˜
α x de ˜
G
. On note ˜
U
1,,1
la réunion des ˜
α x ( ˜
U
1,,1 ) pour tous les x ∈ Aut(G
). Puisque les fonctions que l’on
considère sur ˜
G
1 (F ) se transforment selon le caractère λ 1 de C 1 (F ), la descente
définit une application
SI λ1,cusp ( ˜
U
1,,1 ) → SI cusp (u
).
D’après 4.8, son image est le sous-espace des éléments de SI cusp (u
) qui se transforment selon un certain caractère de Ξ
ΓF
, où Ξ = Z G ()/G
.
L’espace SI λ1,cusp ( ˜
U
1,,1 ) est stable par l’action de Aut(G
). Nous voulons
déterminer l’image de l’application
(6)
SI λ1,cusp ( ˜
U
1,,1 )
Aut(G
)
→ SI cusp (u
).
Pour x ∈ Aut(G
), l’action de x n’impose une condition au voisinage de 1 que si
˜
α x () et sont stablement conjugués. S’il en est ainsi, un élément g
∈ G
qui établit
cette conjugaison stable définit un torseur intérieur entre les commutants connexes