I.4. Stabilité et image du transfert
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de ces éléments. Or on a supposé ces groupes quasi-déployés. Quitte à modifier
g
, on peut donc supposer que ce torseur intérieur est un isomorphisme défini sur
F . Cela conduit à introduire l’ensemble Aut des couples (g
, x) où x est comme
ci-dessus et g
∈ G
est tel que g
˜
α x ()g
−1 = et que l’automorphisme ad g ◦α x de
G
soit défini sur F . Soit (g
, x) ∈ Aut . Considérons les couples (Y
, Y ) ∈ u
× u
d’éléments tels que Y
= ad g ◦α x (Y ), avec Y en position générale. D’après la
construction de 2.6, il existe une fonction (Y
, Y ) → Λ g ,x (Y
, Y ) sur cet ensemble
de couples telle que pour f
1 ∈ SI λ1,cusp ( ˜
U
1,,1 ), la condition que f
1 soit invariante
par l’automorphisme déterminé par x se traduise par l’égalité S
G
1 (exp(Y
) 1 , f
1 ) =
Λ g ,x (Y
, Y )S
G
1 (exp(Y ) 1 , f
1 ) pour tout tel couple. En fait, la fonction Λ g ,x est la
restriction d’une fonction qui se transforme selon un caractère du groupe G
1 (F ) ×
G
1 (F ). Pour u
assez petit, elle est donc constante, de valeur disons Λ(g
, x). Par
descente, la condition précédente se traduit pour f
∈ SI cusp (u
) par l’égalité
S
G
(ad g ◦α x (Y ), f
) = Λ(g
, x)S
G
(Y, f
) pour tout Y ∈ u
. Notons que, dans le
cas x = 1, g
définit un élément de Ξ
ΓF
et cette égalité n’est autre que la condition
de transformation déjà introduite sous l’action de ce groupe. La formule précédente
définit une action du groupe Aut sur SI cusp (u
). On obtient
(7) l’image de l’application (6) est égale à SI cusp (u
)
Aut , l’invariance étant bien
sûr relative l’action définie ci-dessus.
Comme on l’a dit en 4.10, de la transformation de Fourier fixée sur C
∞
c (¯ g(F ))
se déduit une transformation de Fourier sur C
∞
c (g
(F )). On peut supposer la
première invariante par toute action d’un élément de G. La seconde l’est alors par
l’action de Aut . Il en résulte que
(8) SI cusp (g
(F ))
Aut est invariante par transformation de Fourier.
Pour y ∈ ˙
Y(η) et f y ∈ C
∞
c (u η[y] ), nous allons construire une fonction ϕ ,y ∈
C
∞
c (u
). Par linéarité, on peut supposer que f y = f y,Z ⊗ f y,sc , avec f y,Z ∈
C
∞
c (z G η[y] (F )) et f y,sc ∈ C
∞
c (g η[y],SC (F )). Les centres Z( ¯
G) et Z(G η[y] ) s’identifient. On peut donc identifier f y,Z à une fonction sur z ¯
G (F ). La donnée ¯
G
est
aussi une donnée endoscopique de G η[y],SC donc f y,sc se transfère en une fonction disons φ y sur ¯ g
(F ). Par linéarité, on peut supposer φ y = φ y,Z ⊗ φ y,sc , avec
φ y,Z ∈ C
∞
c (z ¯
g
(F )) et φ y,sc ∈ C
∞
c (¯ g
,SC (F )). Par endoscopie non standard, φ y,sc
se transfère en une fonction ϕ ,y,sc ∈ C
∞
c (g
,SC (F )). Par les isomorphismes de 3.7,
on a l’identification z G (F ) = z ¯
G (F ) ⊕ z ¯
G
(F ). La fonction f y,Z ⊗ φ y,Z s’identifie à une fonction ϕ ,y,Z sur z G (F ). On pose ϕ ,y = ϕ ,y,Z ⊗ ϕ ,y,sc . Il est (plus
ou moins) clair que l’on peut effectuer les choix de sorte que cette fonction soit
à support dans u
. L’utilité de cette construction est l’existence d’une famille
(c ,y ) y∈ ˙
Y(η) de nombres complexes non nuls telle que la propriété suivante soit
vérifiée. Soit f ∈ I cusp ( ˜
G(F ), ω) (la condition de cuspidalité ne sert ici à rien mais
peu importe). Soit (f y ) y∈ ˙
Y(η) son image par l’application (5).
Soit ϕ ∈ SI λ1,cusp (G
1 (F )) le transfert de f et soit ϕ la fonction sur u
qui
se déduit de ϕ par (6). Alors
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de ces éléments. Or on a supposé ces groupes quasi-déployés. Quitte à modifier
g
, on peut donc supposer que ce torseur intérieur est un isomorphisme défini sur
F . Cela conduit à introduire l’ensemble Aut des couples (g
, x) où x est comme
ci-dessus et g
∈ G
est tel que g
˜
α x ()g
−1 = et que l’automorphisme ad g ◦α x de
G
soit défini sur F . Soit (g
, x) ∈ Aut . Considérons les couples (Y
, Y ) ∈ u
× u
d’éléments tels que Y
= ad g ◦α x (Y ), avec Y en position générale. D’après la
construction de 2.6, il existe une fonction (Y
, Y ) → Λ g ,x (Y
, Y ) sur cet ensemble
de couples telle que pour f
1 ∈ SI λ1,cusp ( ˜
U
1,,1 ), la condition que f
1 soit invariante
par l’automorphisme déterminé par x se traduise par l’égalité S
G
1 (exp(Y
) 1 , f
1 ) =
Λ g ,x (Y
, Y )S
G
1 (exp(Y ) 1 , f
1 ) pour tout tel couple. En fait, la fonction Λ g ,x est la
restriction d’une fonction qui se transforme selon un caractère du groupe G
1 (F ) ×
G
1 (F ). Pour u
assez petit, elle est donc constante, de valeur disons Λ(g
, x). Par
descente, la condition précédente se traduit pour f
∈ SI cusp (u
) par l’égalité
S
G
(ad g ◦α x (Y ), f
) = Λ(g
, x)S
G
(Y, f
) pour tout Y ∈ u
. Notons que, dans le
cas x = 1, g
définit un élément de Ξ
ΓF
et cette égalité n’est autre que la condition
de transformation déjà introduite sous l’action de ce groupe. La formule précédente
définit une action du groupe Aut sur SI cusp (u
). On obtient
(7) l’image de l’application (6) est égale à SI cusp (u
)
Aut , l’invariance étant bien
sûr relative l’action définie ci-dessus.
Comme on l’a dit en 4.10, de la transformation de Fourier fixée sur C
∞
c (¯ g(F ))
se déduit une transformation de Fourier sur C
∞
c (g
(F )). On peut supposer la
première invariante par toute action d’un élément de G. La seconde l’est alors par
l’action de Aut . Il en résulte que
(8) SI cusp (g
(F ))
Aut est invariante par transformation de Fourier.
Pour y ∈ ˙
Y(η) et f y ∈ C
∞
c (u η[y] ), nous allons construire une fonction ϕ ,y ∈
C
∞
c (u
). Par linéarité, on peut supposer que f y = f y,Z ⊗ f y,sc , avec f y,Z ∈
C
∞
c (z G η[y] (F )) et f y,sc ∈ C
∞
c (g η[y],SC (F )). Les centres Z( ¯
G) et Z(G η[y] ) s’identifient. On peut donc identifier f y,Z à une fonction sur z ¯
G (F ). La donnée ¯
G
est
aussi une donnée endoscopique de G η[y],SC donc f y,sc se transfère en une fonction disons φ y sur ¯ g
(F ). Par linéarité, on peut supposer φ y = φ y,Z ⊗ φ y,sc , avec
φ y,Z ∈ C
∞
c (z ¯
g
(F )) et φ y,sc ∈ C
∞
c (¯ g
,SC (F )). Par endoscopie non standard, φ y,sc
se transfère en une fonction ϕ ,y,sc ∈ C
∞
c (g
,SC (F )). Par les isomorphismes de 3.7,
on a l’identification z G (F ) = z ¯
G (F ) ⊕ z ¯
G
(F ). La fonction f y,Z ⊗ φ y,Z s’identifie à une fonction ϕ ,y,Z sur z G (F ). On pose ϕ ,y = ϕ ,y,Z ⊗ ϕ ,y,sc . Il est (plus
ou moins) clair que l’on peut effectuer les choix de sorte que cette fonction soit
à support dans u
. L’utilité de cette construction est l’existence d’une famille
(c ,y ) y∈ ˙
Y(η) de nombres complexes non nuls telle que la propriété suivante soit
vérifiée. Soit f ∈ I cusp ( ˜
G(F ), ω) (la condition de cuspidalité ne sert ici à rien mais
peu importe). Soit (f y ) y∈ ˙
Y(η) son image par l’application (5).
Soit ϕ ∈ SI λ1,cusp (G
1 (F )) le transfert de f et soit ϕ la fonction sur u
qui
se déduit de ϕ par (6). Alors