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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
(9) on a l’égalité suivante dans SI cusp (u
) :
ϕ =
y∈ ˙
Y(η)
c ,y ϕ ,y .
Cela résulte de la preuve de [79] 3.11 (bien sûr, cela suppose que le voisinage
¯
u est assez petit).
Prouvons maintenant la surjectivité de (3). Le lemme 4.9 et un argument
de partition de l’unité sur l’espace ˜
G ss (F ) ell / st-conj montrent que, pour prouver
cette surjectivité, il suffit de prouver l’assertion suivante. Soient (f G ) G ∈E( ˜
G,a) ∈
⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI cusp (G
)
Aut(G
) et η ∈ ˜
G ss (F ) ell . Alors il existe f ∈ I cusp ( ˜
G(F ), ω)
telle que pour tout (G
, ,) ∈ ˙
X
E (η), les intégrales orbitales stables de f G et
du transfert f
G
de f (ces fonctions étant identifiées à des fonctions sur ˜
G
1 (F ))
coïncident dans un voisinage de 1 . On fixe η et on utilise les constructions cidessus. D’après les propriétés de l’application de descente (6), on peut aussi bien
prouver l’assertion suivante. Soient (G
, ,) ∈ ˙
X
E (η) et φ ∈ SI cusp (u
)
Aut . Alors il
existe f ∈ C
∞
c ( ˜
U ) dont les transferts f
G
vérifient les deux conditions :
(10) l’image de f
G
par descente au voisinage de 1 a les mêmes intégrales orbitales
stables que φ dans un voisinage de 0 ;
(11) pour (G
, ,) ∈ ˙
X
E (η) différent de (G
, ,) ∈ ˙
X
E (η), l’image de f
G
par descente au voisinage de 1 a des intégrales orbitales stables nulles dans un
voisinage de 0.
D’après 4.1(2), on peut trouver φ
∈ SI cusp (u
) à support régulier elliptique
et tel que φ et ˆ
φ
aient mêmes intégrales orbitales stables au voisinage de 0. La
propriété (8) nous permet de supposer que φ
est invariante par le groupe Aut . On
peut relever φ
en un élément ϕ
∈ SI λ1,cusp ( ˜
U
1,,1 )
Aut(G
) à support régulier elliptique, et compléter ϕ
en un élément de ⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI cusp (G
)
Aut(G
) , nul sur les
autres composantes. D’après (4), c’est le transfert d’un élément f
∈ I ell ( ˜
G(F ), ω).
Il est clair que l’on peut supposer f
∈ I cusp ( ˜
U , ω). Appliquons à f
les constructions précédant la formule (9), en les affectant d’un
. On obtient les deux propriétés
suivantes :
– la fonction φ
a les mêmes intégrales orbitales stables que
y∈ ˙
Y(η) c ,y ϕ
,y ;
– pour (G
, ,) ∈ ˙
Y
E (ξ) différent de (G
, ,), la fonction
y∈ ˙
Y(η) c ,y ϕ
,y a des
intégrales orbitales stables nulles.
Pour tout y ∈ ˙
Y(η), notons f y la fonction γ(g
)
−1 γ(g η[y] ) ˆ
f
y restreinte à u η[y] .
D’après la description de l’image de (5), il existe f ∈ I cusp ( ˜
U , ω) dont l’image par
descente soit (f y ) y∈ ˙
Y(η) . Soit ϕ ∈ ⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI cusp (G
)
Aut(G
) le transfert de f .
On applique à f les constructions précédant la formule (9). D’après 4.10, toutes
les fonctions issues de f se déduisent de celles issues de f
par transformation de
Fourier et éventuellement multiplication par des constantes γ. On obtient que,
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
(9) on a l’égalité suivante dans SI cusp (u
) :
ϕ =
y∈ ˙
Y(η)
c ,y ϕ ,y .
Cela résulte de la preuve de [79] 3.11 (bien sûr, cela suppose que le voisinage
¯
u est assez petit).
Prouvons maintenant la surjectivité de (3). Le lemme 4.9 et un argument
de partition de l’unité sur l’espace ˜
G ss (F ) ell / st-conj montrent que, pour prouver
cette surjectivité, il suffit de prouver l’assertion suivante. Soient (f G ) G ∈E( ˜
G,a) ∈
⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI cusp (G
)
Aut(G
) et η ∈ ˜
G ss (F ) ell . Alors il existe f ∈ I cusp ( ˜
G(F ), ω)
telle que pour tout (G
, ,) ∈ ˙
X
E (η), les intégrales orbitales stables de f G et
du transfert f
G
de f (ces fonctions étant identifiées à des fonctions sur ˜
G
1 (F ))
coïncident dans un voisinage de 1 . On fixe η et on utilise les constructions cidessus. D’après les propriétés de l’application de descente (6), on peut aussi bien
prouver l’assertion suivante. Soient (G
, ,) ∈ ˙
X
E (η) et φ ∈ SI cusp (u
)
Aut . Alors il
existe f ∈ C
∞
c ( ˜
U ) dont les transferts f
G
vérifient les deux conditions :
(10) l’image de f
G
par descente au voisinage de 1 a les mêmes intégrales orbitales
stables que φ dans un voisinage de 0 ;
(11) pour (G
, ,) ∈ ˙
X
E (η) différent de (G
, ,) ∈ ˙
X
E (η), l’image de f
G
par descente au voisinage de 1 a des intégrales orbitales stables nulles dans un
voisinage de 0.
D’après 4.1(2), on peut trouver φ
∈ SI cusp (u
) à support régulier elliptique
et tel que φ et ˆ
φ
aient mêmes intégrales orbitales stables au voisinage de 0. La
propriété (8) nous permet de supposer que φ
est invariante par le groupe Aut . On
peut relever φ
en un élément ϕ
∈ SI λ1,cusp ( ˜
U
1,,1 )
Aut(G
) à support régulier elliptique, et compléter ϕ
en un élément de ⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI cusp (G
)
Aut(G
) , nul sur les
autres composantes. D’après (4), c’est le transfert d’un élément f
∈ I ell ( ˜
G(F ), ω).
Il est clair que l’on peut supposer f
∈ I cusp ( ˜
U , ω). Appliquons à f
les constructions précédant la formule (9), en les affectant d’un
. On obtient les deux propriétés
suivantes :
– la fonction φ
a les mêmes intégrales orbitales stables que
y∈ ˙
Y(η) c ,y ϕ
,y ;
– pour (G
, ,) ∈ ˙
Y
E (ξ) différent de (G
, ,), la fonction
y∈ ˙
Y(η) c ,y ϕ
,y a des
intégrales orbitales stables nulles.
Pour tout y ∈ ˙
Y(η), notons f y la fonction γ(g
)
−1 γ(g η[y] ) ˆ
f
y restreinte à u η[y] .
D’après la description de l’image de (5), il existe f ∈ I cusp ( ˜
U , ω) dont l’image par
descente soit (f y ) y∈ ˙
Y(η) . Soit ϕ ∈ ⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI cusp (G
)
Aut(G
) le transfert de f .
On applique à f les constructions précédant la formule (9). D’après 4.10, toutes
les fonctions issues de f se déduisent de celles issues de f
par transformation de
Fourier et éventuellement multiplication par des constantes γ. On obtient que,