I.4. Stabilité et image du transfert
101
pour (G
, ,) ∈ ˙
Y
E (η), l’image par descente de f
G
a les mêmes intégrales orbitales
stables que
y∈ ˙
Y(η)
c ,y ϕ ,y ,
ou encore que
γ(g
)γ(g
)
−1
y∈ ˙
Y(η)
c ,y ˆ
ϕ
,y ,
ou encore que ˆ
φ
si (G
, ,) = (G
, ,), 0 sinon. D’après le choix de φ
, f satisfait
(10) et (11), ce qui achève la démonstration.
I.4.13 Preuve de la proposition 4.11 dans le cas réel
On reprend la preuve du cas non-archimédien. Son début reste pertinent. En adaptant les notations aux K-espaces tordus, il faut prouver que le transfert induit un
isomorphisme
(1)
I cusp (K ˜
G(R), ω) ⊕ G ∈E(K ˜
G,a) SI cusp (G
)
Aut(G
) .
Commençons par décrire l’espace I cusp ( ˜
G(R), ω). On a défini en 1.3 la notion de
tore tordu maximal elliptique dans ˜
G. Notons que, pour un tore tordu maximal
˜
T , la condition d’ellipticité revient à dire que (T
θ,0 /A ˜
G )(R) est compact. Il y a au
plus un nombre fini de classes de conjugaison par G(R) de tores tordus maximaux
elliptiques (nous ignorons s’il y en a au plus un comme dans le cas non tordu).
Fixons un ensemble de représentants ˜
T ell des classes de conjugaison par G(R)
parmi les tores tordus maximaux elliptiques ˜
T tels que ω soit trivial sur T
θ (R).
Cet ensemble peut être vide. Considérons l’application qui à f ∈ I cusp ( ˜
G(R), ω)
associe la famille de fonctions (ϕ ˜
T ) ˜
T ∈ ˜
T ell
, où ϕ ˜
T est la fonction définie sur les
éléments fortement réguliers de ˜
T (R) par
ϕ ˜
T (γ) = I
˜
G (γ, ω, f ).
Elle est injective. Une famille (ϕ ˜
T ) ˜
T ∈ ˜
T ell
dans l’image vérifie la condition
(2) pour tout ˜
T ∈ ˜
T ell , tout élément fortement régulier γ ∈ ˜
T (R) et tout g ∈ G(R)
tel que gγg
−1
∈ ˜
T (R), on a ϕ ˜
T (gγg
−1 ) = ω(g)ϕ ˜
T (γ).
Par descente d’Harish-Chandra, nos fonctions vérifient localement les conditions de régularité ou de saut habituelles dans cette théorie. Mais, parce que l’on
considère ici des fonctions cuspidales, ces conditions se simplifient grandement.
Soient ˜
T ∈ ˜
T ell et η ∈ ˜
T (R). Notons Σ(T ) η l’ensemble des racines de T
θ,0 dans
G η . Puisque (T
θ,0 /A ˜
G )(R) est compact, toutes ces racines sont imaginaires. Fixons
un sous-ensemble de racines positives et définissons une fonction Δ η sur le sousensemble des éléments de t
θ (R) qui sont réguliers dans G η par la formule
Δ η (X) =
α∈Σ(T )η ,α>0
sgn(iα(X)),
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pour (G
, ,) ∈ ˙
Y
E (η), l’image par descente de f
G
a les mêmes intégrales orbitales
stables que
y∈ ˙
Y(η)
c ,y ϕ ,y ,
ou encore que
γ(g
)γ(g
)
−1
y∈ ˙
Y(η)
c ,y ˆ
ϕ
,y ,
ou encore que ˆ
φ
si (G
, ,) = (G
, ,), 0 sinon. D’après le choix de φ
, f satisfait
(10) et (11), ce qui achève la démonstration.
I.4.13 Preuve de la proposition 4.11 dans le cas réel
On reprend la preuve du cas non-archimédien. Son début reste pertinent. En adaptant les notations aux K-espaces tordus, il faut prouver que le transfert induit un
isomorphisme
(1)
I cusp (K ˜
G(R), ω) ⊕ G ∈E(K ˜
G,a) SI cusp (G
)
Aut(G
) .
Commençons par décrire l’espace I cusp ( ˜
G(R), ω). On a défini en 1.3 la notion de
tore tordu maximal elliptique dans ˜
G. Notons que, pour un tore tordu maximal
˜
T , la condition d’ellipticité revient à dire que (T
θ,0 /A ˜
G )(R) est compact. Il y a au
plus un nombre fini de classes de conjugaison par G(R) de tores tordus maximaux
elliptiques (nous ignorons s’il y en a au plus un comme dans le cas non tordu).
Fixons un ensemble de représentants ˜
T ell des classes de conjugaison par G(R)
parmi les tores tordus maximaux elliptiques ˜
T tels que ω soit trivial sur T
θ (R).
Cet ensemble peut être vide. Considérons l’application qui à f ∈ I cusp ( ˜
G(R), ω)
associe la famille de fonctions (ϕ ˜
T ) ˜
T ∈ ˜
T ell
, où ϕ ˜
T est la fonction définie sur les
éléments fortement réguliers de ˜
T (R) par
ϕ ˜
T (γ) = I
˜
G (γ, ω, f ).
Elle est injective. Une famille (ϕ ˜
T ) ˜
T ∈ ˜
T ell
dans l’image vérifie la condition
(2) pour tout ˜
T ∈ ˜
T ell , tout élément fortement régulier γ ∈ ˜
T (R) et tout g ∈ G(R)
tel que gγg
−1
∈ ˜
T (R), on a ϕ ˜
T (gγg
−1 ) = ω(g)ϕ ˜
T (γ).
Par descente d’Harish-Chandra, nos fonctions vérifient localement les conditions de régularité ou de saut habituelles dans cette théorie. Mais, parce que l’on
considère ici des fonctions cuspidales, ces conditions se simplifient grandement.
Soient ˜
T ∈ ˜
T ell et η ∈ ˜
T (R). Notons Σ(T ) η l’ensemble des racines de T
θ,0 dans
G η . Puisque (T
θ,0 /A ˜
G )(R) est compact, toutes ces racines sont imaginaires. Fixons
un sous-ensemble de racines positives et définissons une fonction Δ η sur le sousensemble des éléments de t
θ (R) qui sont réguliers dans G η par la formule
Δ η (X) =
α∈Σ(T )η ,α>0
sgn(iα(X)),