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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
où sgn est le signe usuel d’un réel non nul. Cette fonction prend ses valeurs dans
{±1}. On a simplement
(3) pour ˜
T et η comme ci-dessus, la fonction X → Δ η (X)ϕ ˜
T (exp(X)η) se prolonge en une fonction C
∞ au voisinage de 0 dans t
θ (R).
Inversement, la théorie de la descente montre que toute famille (ϕ ˜
T ) ˜
T ∈ ˜
T ell
vérifiant (2) et (3) est l’image d’un élément de I cusp ( ˜
G(R), ω). Ce résultat se propage
au K-espace K ˜
G. Pour p ∈ Π, on note plus précisément ˜
T ell,p l’ensemble associé à
la composante ˜
G p . On pose K ˜
T ell = p∈Π ˜
T ell,p . On obtient que l’application
f → (ϕ ˜
T ) ˜
T ∈K ˜
T ell
est injective et que son image est formée des familles vérifiant (2) et (3).
Soit G
∈ E(K ˜
G, a). Fixons des données supplémentaires G
1 ,. . .,Δ 1 et identifions C
∞
c (G
) à C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (R)). Parce que ˜
G
est à torsion intérieure, il y a au plus
une classe de conjugaison par G
(R) de tores tordus maximaux elliptiques dans ˜
G
.
S’il n’y en a pas, il est clair que SI cusp (G
) est nul. Supposons qu’il existe un tel
tore tordu maximal elliptique, fixons-en un que l’on note ˜
T
. Notons ˜
T
1 son image
réciproque dans ˜
G
1 (R). On considère l’application qui, à f ∈ SI cusp (G
), associe
la fonction ϕ ˜
T
1
sur ˜
T
1 (R) définie par ϕ ˜
T
1
(δ 1 ) = S
˜
G
1 (δ 1 , f) pour tout δ 1 ∈ ˜
T
1 (R)
fortement régulier. Cette application est injective. Un élément de l’image vérifie
les conditions
(4) ϕ ˜
T
1
(c 1 δ 1 ) = λ 1 (c 1 )
−1 ϕ ˜
T
1
(δ 1 ) pour tout δ 1 ∈ ˜
T
1 (R) fortement régulier et tout
c 1 ∈ C 1 (R) ;
(5) pour deux éléments δ 1 , δ
1 ∈ ˜
T
1 (R) fortement réguliers et stablement conjugués, ϕ ˜
T
1
(δ
1 ) = ϕ ˜
T
1
(δ 1 ).
De nouveau, par descente, la fonction vérifie localement les conditions établies par Shelstad. Puisqu’on travaille avec des fonctions cuspidales, ces conditions
se simplifient. Soit ∈ ˜
T
(R). On définit comme ci-dessus une fonction Δ sur l’ensemble des éléments t
(R) qui sont réguliers dans G
. On la remonte en une fonction
définie presque partout sur t
1 (R). Alors
(6) pour ∈ ˜
T
(R) et 1 ∈ ˜
T
1 (R) au-dessus de , la fonction
Y → Δ (Y )ϕ ˜
T
1
(exp(Y ) 1 )
se prolonge en une fonction C
∞ au voisinage de 0 dans t
1 (R).
Inversement, une fonction vérifiant les conditions (4), (5) et (6) est dans
l’image de SI cusp (G
), cf. [74] théorème 12.1. On doit déterminer l’image du
sous-espace des invariants par Aut(G
). Notons ˜
T
(R) l’ensemble des éléments
δ ∈ ˜
T
(R) tels que N
˜
G
,K ˜
G (δ) appartient à l’image de K ˜
G ab (R) par N
K ˜
G . Cet
ensemble est ouvert et fermé (cela résulte des définitions). D’après le (iii) de la
proposition 1.14, pour tout élément ˜
G-régulier δ ∈ ˜
T
(R) , il existe γ ∈ K ˜
G(R) tel
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
où sgn est le signe usuel d’un réel non nul. Cette fonction prend ses valeurs dans
{±1}. On a simplement
(3) pour ˜
T et η comme ci-dessus, la fonction X → Δ η (X)ϕ ˜
T (exp(X)η) se prolonge en une fonction C
∞ au voisinage de 0 dans t
θ (R).
Inversement, la théorie de la descente montre que toute famille (ϕ ˜
T ) ˜
T ∈ ˜
T ell
vérifiant (2) et (3) est l’image d’un élément de I cusp ( ˜
G(R), ω). Ce résultat se propage
au K-espace K ˜
G. Pour p ∈ Π, on note plus précisément ˜
T ell,p l’ensemble associé à
la composante ˜
G p . On pose K ˜
T ell = p∈Π ˜
T ell,p . On obtient que l’application
f → (ϕ ˜
T ) ˜
T ∈K ˜
T ell
est injective et que son image est formée des familles vérifiant (2) et (3).
Soit G
∈ E(K ˜
G, a). Fixons des données supplémentaires G
1 ,. . .,Δ 1 et identifions C
∞
c (G
) à C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (R)). Parce que ˜
G
est à torsion intérieure, il y a au plus
une classe de conjugaison par G
(R) de tores tordus maximaux elliptiques dans ˜
G
.
S’il n’y en a pas, il est clair que SI cusp (G
) est nul. Supposons qu’il existe un tel
tore tordu maximal elliptique, fixons-en un que l’on note ˜
T
. Notons ˜
T
1 son image
réciproque dans ˜
G
1 (R). On considère l’application qui, à f ∈ SI cusp (G
), associe
la fonction ϕ ˜
T
1
sur ˜
T
1 (R) définie par ϕ ˜
T
1
(δ 1 ) = S
˜
G
1 (δ 1 , f) pour tout δ 1 ∈ ˜
T
1 (R)
fortement régulier. Cette application est injective. Un élément de l’image vérifie
les conditions
(4) ϕ ˜
T
1
(c 1 δ 1 ) = λ 1 (c 1 )
−1 ϕ ˜
T
1
(δ 1 ) pour tout δ 1 ∈ ˜
T
1 (R) fortement régulier et tout
c 1 ∈ C 1 (R) ;
(5) pour deux éléments δ 1 , δ
1 ∈ ˜
T
1 (R) fortement réguliers et stablement conjugués, ϕ ˜
T
1
(δ
1 ) = ϕ ˜
T
1
(δ 1 ).
De nouveau, par descente, la fonction vérifie localement les conditions établies par Shelstad. Puisqu’on travaille avec des fonctions cuspidales, ces conditions
se simplifient. Soit ∈ ˜
T
(R). On définit comme ci-dessus une fonction Δ sur l’ensemble des éléments t
(R) qui sont réguliers dans G
. On la remonte en une fonction
définie presque partout sur t
1 (R). Alors
(6) pour ∈ ˜
T
(R) et 1 ∈ ˜
T
1 (R) au-dessus de , la fonction
Y → Δ (Y )ϕ ˜
T
1
(exp(Y ) 1 )
se prolonge en une fonction C
∞ au voisinage de 0 dans t
1 (R).
Inversement, une fonction vérifiant les conditions (4), (5) et (6) est dans
l’image de SI cusp (G
), cf. [74] théorème 12.1. On doit déterminer l’image du
sous-espace des invariants par Aut(G
). Notons ˜
T
(R) l’ensemble des éléments
δ ∈ ˜
T
(R) tels que N
˜
G
,K ˜
G (δ) appartient à l’image de K ˜
G ab (R) par N
K ˜
G . Cet
ensemble est ouvert et fermé (cela résulte des définitions). D’après le (iii) de la
proposition 1.14, pour tout élément ˜
G-régulier δ ∈ ˜
T
(R) , il existe γ ∈ K ˜
G(R) tel