I.4. Stabilité et image du transfert
103
que (δ, γ) ∈ D K ˜
G . Les définitions et le corollaire 2.6 entraînent que la condition
d’invariance par Aut(G
) se traduit simplement par les deux conditions suivantes :
(7) ϕ ˜
T
1
est nulle sur l’image réciproque de ˜
T
(R) dans ˜
T
1 (R) ;
(8) pour deux éléments δ 1 , δ
1 ∈ ˜
T
1 (R) fortement réguliers pour lesquels il existe
γ ∈ K ˜
G(R) de sorte que (δ 1 , γ) et (δ
1 , γ) appartiennent tous deux à D 1,K ˜
G ,
on a l’égalité Δ 1 (δ
1 , γ)
−1 ϕ ˜
T
1
(δ
1 ) = Δ 1 (δ 1 , γ)
−1 ϕ ˜
T
1
(δ 1 ).
Remarquons que cette condition implique (4) et (5).
Quand on se limite à des fonctions à support régulier elliptique, l’assertion
4.12(4) reste vraie sous la forme : le transfert définit un isomorphisme
(9)
I ell (K ˜
G(R), ω) ⊕ G ∈E(K ˜
G,a) SI ˜
G−ell (G
)
Aut(G
) .
Comme dans le cas non-archimédien, cela entraîne que le transfert est injectif
sur I cusp (K ˜
G(R), ω).
Notons E(K ˜
G, a) 0 l’ensemble des G
∈ E(K ˜
G, a) tels que ˜
G
possède un soustore tordu elliptique. Comme on l’a déjà dit, il n’y a qu’une classe de conjugaison
de tels sous-tores et on en fixe un que l’on note ˜
T [ ˜
G
]. Considérons une famille
(ϕ ˜
T [ ˜
G ]1 ) G ∈E(K ˜
G,a)0 , où, pour tout G
∈ E(K ˜
G, a) 0 , ϕ ˜
T [ ˜
G ]1 est une fonction sur
˜
T [ ˜
G
] 1 (R) (définie presque partout) vérifiant (6), (7) et (8). Nous allons en déduire
une famille (ϕ ˜
T ) ˜
T ∈K ˜
T ell
où, pour tout ˜
T ∈ K ˜
T ell , ϕ ˜
T est une fonction définie
presque partout sur ˜
T (R). Soient ˜
T ∈ K ˜
T ell et γ ∈ ˜
T (R) ∩ K ˜
G reg (F ). On peut
supposer que chaque élément de l’ensemble ˙
X
E (γ) de 4.9 est de la forme (G
, δ)
où G
∈ E(K ˜
G, a) 0 et δ ∈ ˜
T [ ˜
G
](R). On pose alors
ϕ ˜
T (γ) = [T
θ (R) : T
θ,0 (R)]| ˙
X (γ)|
−1 d(θ
∗ )
−1/2
(G ,δ)∈ ˙
X E (γ)
Δ 1 (δ 1 , γ)
−1 ϕ ˜
T [ ˜
G ] (δ 1 ),
cf. 4.9(5). Dans le cas où (ϕ ˜
T [ ˜
G ]1 ) G ∈E(K ˜
G,a)0 est à support régulier, c’est-à-dire
provient d’un élément de ⊕ G ∈E(K ˜
G,a) SI ˜
G−ell (G
)
Aut(G
) , la famille (ϕ ˜
T ) ˜
T ∈K ˜
T ell
provient de l’élément de I ell (K ˜
G(R), ω) qui correspond à cet élément par l’isomorphisme (9). Dans le cas général, les éléments de la famille (ϕ ˜
T ) ˜
T ∈K ˜
T ell
vérifient
(2) par construction. Pour démontrer la surjectivité de l’application (1), il suffit
de prouver qu’ils vérifient aussi la condition (3). Pour cela, fixons ˜
T ∈ K ˜
T ell et
η ∈ ˜
T (R). Introduisons l’ensemble ˙
X
E (η). Comme ci-dessus, on peut supposer
que tout élément de cet ensemble est de la forme (G
, ,), où G
∈ E(K ˜
G, a) 0 et
∈ ˜
T [ ˜
G
](R). On a même ∈ ˜
T [ ˜
G
](R) d’après 4.9(6). Soit X 0 ∈ t
θ (R) assez
petit et régulier dans g η . L’élément γ 0 = exp(X 0 )η est elliptique et fortement
régulier. Introduisons l’ensemble ˙
Y
E (γ 0 ) et, pour simplifier, indexons-le par un
ensemble {1, . . . , n} d’entiers. D’après la remarque suivant le lemme 4.9, on peut
supposer que, pour k = 1, . . . , n, le k-ième élément de ˙
Y
E (γ 0 ) est de la forme
(G
k , exp(Y k,0 ) k ), où (G
k , , k ) ∈ ˙
X
E (η) et Y k,0 est un élément régulier de g
k,, k
(R).
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que (δ, γ) ∈ D K ˜
G . Les définitions et le corollaire 2.6 entraînent que la condition
d’invariance par Aut(G
) se traduit simplement par les deux conditions suivantes :
(7) ϕ ˜
T
1
est nulle sur l’image réciproque de ˜
T
(R) dans ˜
T
1 (R) ;
(8) pour deux éléments δ 1 , δ
1 ∈ ˜
T
1 (R) fortement réguliers pour lesquels il existe
γ ∈ K ˜
G(R) de sorte que (δ 1 , γ) et (δ
1 , γ) appartiennent tous deux à D 1,K ˜
G ,
on a l’égalité Δ 1 (δ
1 , γ)
−1 ϕ ˜
T
1
(δ
1 ) = Δ 1 (δ 1 , γ)
−1 ϕ ˜
T
1
(δ 1 ).
Remarquons que cette condition implique (4) et (5).
Quand on se limite à des fonctions à support régulier elliptique, l’assertion
4.12(4) reste vraie sous la forme : le transfert définit un isomorphisme
(9)
I ell (K ˜
G(R), ω) ⊕ G ∈E(K ˜
G,a) SI ˜
G−ell (G
)
Aut(G
) .
Comme dans le cas non-archimédien, cela entraîne que le transfert est injectif
sur I cusp (K ˜
G(R), ω).
Notons E(K ˜
G, a) 0 l’ensemble des G
∈ E(K ˜
G, a) tels que ˜
G
possède un soustore tordu elliptique. Comme on l’a déjà dit, il n’y a qu’une classe de conjugaison
de tels sous-tores et on en fixe un que l’on note ˜
T [ ˜
G
]. Considérons une famille
(ϕ ˜
T [ ˜
G ]1 ) G ∈E(K ˜
G,a)0 , où, pour tout G
∈ E(K ˜
G, a) 0 , ϕ ˜
T [ ˜
G ]1 est une fonction sur
˜
T [ ˜
G
] 1 (R) (définie presque partout) vérifiant (6), (7) et (8). Nous allons en déduire
une famille (ϕ ˜
T ) ˜
T ∈K ˜
T ell
où, pour tout ˜
T ∈ K ˜
T ell , ϕ ˜
T est une fonction définie
presque partout sur ˜
T (R). Soient ˜
T ∈ K ˜
T ell et γ ∈ ˜
T (R) ∩ K ˜
G reg (F ). On peut
supposer que chaque élément de l’ensemble ˙
X
E (γ) de 4.9 est de la forme (G
, δ)
où G
∈ E(K ˜
G, a) 0 et δ ∈ ˜
T [ ˜
G
](R). On pose alors
ϕ ˜
T (γ) = [T
θ (R) : T
θ,0 (R)]| ˙
X (γ)|
−1 d(θ
∗ )
−1/2
(G ,δ)∈ ˙
X E (γ)
Δ 1 (δ 1 , γ)
−1 ϕ ˜
T [ ˜
G ] (δ 1 ),
cf. 4.9(5). Dans le cas où (ϕ ˜
T [ ˜
G ]1 ) G ∈E(K ˜
G,a)0 est à support régulier, c’est-à-dire
provient d’un élément de ⊕ G ∈E(K ˜
G,a) SI ˜
G−ell (G
)
Aut(G
) , la famille (ϕ ˜
T ) ˜
T ∈K ˜
T ell
provient de l’élément de I ell (K ˜
G(R), ω) qui correspond à cet élément par l’isomorphisme (9). Dans le cas général, les éléments de la famille (ϕ ˜
T ) ˜
T ∈K ˜
T ell
vérifient
(2) par construction. Pour démontrer la surjectivité de l’application (1), il suffit
de prouver qu’ils vérifient aussi la condition (3). Pour cela, fixons ˜
T ∈ K ˜
T ell et
η ∈ ˜
T (R). Introduisons l’ensemble ˙
X
E (η). Comme ci-dessus, on peut supposer
que tout élément de cet ensemble est de la forme (G
, ,), où G
∈ E(K ˜
G, a) 0 et
∈ ˜
T [ ˜
G
](R). On a même ∈ ˜
T [ ˜
G
](R) d’après 4.9(6). Soit X 0 ∈ t
θ (R) assez
petit et régulier dans g η . L’élément γ 0 = exp(X 0 )η est elliptique et fortement
régulier. Introduisons l’ensemble ˙
Y
E (γ 0 ) et, pour simplifier, indexons-le par un
ensemble {1, . . . , n} d’entiers. D’après la remarque suivant le lemme 4.9, on peut
supposer que, pour k = 1, . . . , n, le k-ième élément de ˙
Y
E (γ 0 ) est de la forme
(G
k , exp(Y k,0 ) k ), où (G
k , , k ) ∈ ˙
X
E (η) et Y k,0 est un élément régulier de g
k,, k
(R).