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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Remarquons en passant que l’application k → (G
k , , k ) n’est pas injective en général. Notons ˜
T
k = ˜
T [ ˜
G
k ]. L’élément Y k,0 est elliptique. Puisque T
k est, à conjugaison près, l’unique sous-tore elliptique de G
k,, k
, on peut supposer Y k,0 ∈ t
k (R).
D’un diagramme reliant exp(Y k,0 ) k à exp(X 0 )η se déduit alors un isomorphisme
t
θ (R) t
k (R) qui envoie X 0 sur Y k,0 . En fixant une section t
k (R) → t
k,1 (R) de la
projection naturelle, on obtient un homomorphisme
t
θ (R) → t
k,1 (R)
X
→
Y k
Soit X ∈ t
θ (R), assez petit et régulier dans g η , et posons γ = exp(X)η. Il est
(plus ou moins) clair que l’on peut prendre pour ensemble ˙
X
E (γ) l’ensemble des
(G
k , exp(Y k ) k ) pour k = 1, . . . , n. En appliquant la définition ci-dessus, on obtient
ϕ ˜
T (exp(X)η) = d(θ
∗ )
−1/2 [T
θ (R) : T
θ,0 (R)]| ˙
X (γ 0 )|
−1
k=1,...,n
Δ 1 (exp(Y k ) k,1 , exp(X)η)
−1 ϕ ˜
T
k,1
(exp(Y k ) k,1 ).
On veut prouver que la fonction X → Δ η (X)ϕ ˜
T (exp(X)η) se prolonge en une
fonction C
∞ au voisinage de 0. On sait d’après (6) que, pour tout k, la fonction
Y → Δ k (Y )ϕ ˜
T
k,1
(exp(Y ) k,1 ) se prolonge en une telle fonction. Il suffit donc de
prouver que, pour tout k, la fonction
X → Δ η (X)Δ k (Y k )
−1 Δ 1 (exp(Y k ) k,1 , exp(X)η)
−1
se prolonge en une fonction C
∞ au voisinage de 0. C’est ce que fait Shelstad dans
[74], dans une situation plus générale. Puisque l’on est ici dans un cas beaucoup
plus simple, redonnons l’argument. Pour simplifier, on fixe k et on abandonne les
indices k. Il existe une constante c = 0 telle que
Δ 1 (exp(Y ) 1 , exp(X)η) = cΔ 1 (exp(Y ) 1 , exp(X)η; exp(Y 0 ) 1 , exp(X 0 )η).
Il est clair que le facteur Δ imp (exp(Y ) 1 , exp(X)η; exp(Y 0 ) 1 , exp(X 0 )η)
−1 est C
∞
au voisinage de 0. Cela nous ramène à considérer la fonction
X → Δ η (X)Δ (Y )
−1 Δ II (exp(Y ), exp(X)η)
−1 .
Utilisons les notations de 1.6 et 2.2. Le terme ν de 2.2 est de la forme exp(X)ν η .
On a décrit en [79] 3.3 l’ensemble de racines Σ(T ) η du groupe G η . C’est
Σ(T ) η = {α res ; α ∈ Σ(T ), α de type 1 ou 2 , (N α)(ν η ) = 1}
∪ {2α res ; α ∈ Σ(T ), α de type 2 , (N α)(ν η ) = −1}.
On a aussi décrit l’ensemble de racines Σ(T
) du groupe G
. C’est
Σ(T
) = {N α; α ∈ Σ(T ), α de type 1, (N ˆ
α)(s) = 1, (N α)(ν η ) = 1}
∪ {2N α; α ∈ Σ(T ), α de type 2, (N ˆ
α)(s) = 1, (N α)(ν η ) = ±1}
∪ {N α; α ∈ Σ(T ), α de type 2, (N ˆ
α)(s) = −1, (N α)(ν η ) = 1}.
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Remarquons en passant que l’application k → (G
k , , k ) n’est pas injective en général. Notons ˜
T
k = ˜
T [ ˜
G
k ]. L’élément Y k,0 est elliptique. Puisque T
k est, à conjugaison près, l’unique sous-tore elliptique de G
k,, k
, on peut supposer Y k,0 ∈ t
k (R).
D’un diagramme reliant exp(Y k,0 ) k à exp(X 0 )η se déduit alors un isomorphisme
t
θ (R) t
k (R) qui envoie X 0 sur Y k,0 . En fixant une section t
k (R) → t
k,1 (R) de la
projection naturelle, on obtient un homomorphisme
t
θ (R) → t
k,1 (R)
X
→
Y k
Soit X ∈ t
θ (R), assez petit et régulier dans g η , et posons γ = exp(X)η. Il est
(plus ou moins) clair que l’on peut prendre pour ensemble ˙
X
E (γ) l’ensemble des
(G
k , exp(Y k ) k ) pour k = 1, . . . , n. En appliquant la définition ci-dessus, on obtient
ϕ ˜
T (exp(X)η) = d(θ
∗ )
−1/2 [T
θ (R) : T
θ,0 (R)]| ˙
X (γ 0 )|
−1
k=1,...,n
Δ 1 (exp(Y k ) k,1 , exp(X)η)
−1 ϕ ˜
T
k,1
(exp(Y k ) k,1 ).
On veut prouver que la fonction X → Δ η (X)ϕ ˜
T (exp(X)η) se prolonge en une
fonction C
∞ au voisinage de 0. On sait d’après (6) que, pour tout k, la fonction
Y → Δ k (Y )ϕ ˜
T
k,1
(exp(Y ) k,1 ) se prolonge en une telle fonction. Il suffit donc de
prouver que, pour tout k, la fonction
X → Δ η (X)Δ k (Y k )
−1 Δ 1 (exp(Y k ) k,1 , exp(X)η)
−1
se prolonge en une fonction C
∞ au voisinage de 0. C’est ce que fait Shelstad dans
[74], dans une situation plus générale. Puisque l’on est ici dans un cas beaucoup
plus simple, redonnons l’argument. Pour simplifier, on fixe k et on abandonne les
indices k. Il existe une constante c = 0 telle que
Δ 1 (exp(Y ) 1 , exp(X)η) = cΔ 1 (exp(Y ) 1 , exp(X)η; exp(Y 0 ) 1 , exp(X 0 )η).
Il est clair que le facteur Δ imp (exp(Y ) 1 , exp(X)η; exp(Y 0 ) 1 , exp(X 0 )η)
−1 est C
∞
au voisinage de 0. Cela nous ramène à considérer la fonction
X → Δ η (X)Δ (Y )
−1 Δ II (exp(Y ), exp(X)η)
−1 .
Utilisons les notations de 1.6 et 2.2. Le terme ν de 2.2 est de la forme exp(X)ν η .
On a décrit en [79] 3.3 l’ensemble de racines Σ(T ) η du groupe G η . C’est
Σ(T ) η = {α res ; α ∈ Σ(T ), α de type 1 ou 2 , (N α)(ν η ) = 1}
∪ {2α res ; α ∈ Σ(T ), α de type 2 , (N α)(ν η ) = −1}.
On a aussi décrit l’ensemble de racines Σ(T
) du groupe G
. C’est
Σ(T
) = {N α; α ∈ Σ(T ), α de type 1, (N ˆ
α)(s) = 1, (N α)(ν η ) = 1}
∪ {2N α; α ∈ Σ(T ), α de type 2, (N ˆ
α)(s) = 1, (N α)(ν η ) = ±1}
∪ {N α; α ∈ Σ(T ), α de type 2, (N ˆ
α)(s) = −1, (N α)(ν η ) = 1}.