I.4. Stabilité et image du transfert
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Puisque (T
θ,0 /A ˜
G )(R) est elliptique, la conjugaison complexe agit sur Σ(T ) res,ind
par multiplication par −1. Fixons un ensemble Σ de représentants des orbites.
Dans les définitions de Δ η et Δ , on peut remplacer les sous-ensembles de racines
positives par des ensembles de représentants d’orbites pour la conjugaison complexe, cela ne change ces fonctions que par des constantes. On peut supposer que
ce sont les ensembles déduits de ceux ci-dessus en ajoutant la condition α res ∈ Σ .
Chacune des nos fonctions Δ η (X), Δ (Y )
−1 et Δ II (exp(Y ), exp(X)η)
−1 est
un produit indexé par α res ∈ Σ . Le terme indexé par α res est donné par le tableau
suivant
type
Δ II (exp(Y ),
de α (N α)(ν η ) (N ˆ
α)(s)
Δ η (X)
Δ (Y )
−1
exp(X)η)
−1
1
1
1
s g n ( iα res (X)) sgn(i(N α)(Y ))
1
1
1
= 1
sgn(iα res (X))
1
χ αres (
aα res
(Nα)(ν)−1 )
1
= 1
1
1
1
1
1
= 1
= 1
1
1
χ αres (
aα res
(Nα)(ν)−1 )
2
1
1
s g n ( iα res (X)) sgn(2i(N α)(Y ))
1
2
1
−1
sgn(iα res (X)) sgn(i(N α)(Y )) χ αres (
1
(Nα)(ν)+1 )
2
1
= ±1
sgn(iα res (X))
1
χ αres (
aα res
(Nα)(ν) 2 −1 )
2
−1
1
s g n ( 2 iα res (X)) sgn(2i(N α)(Y ))
1
2
−1
−1
sgn(2iα res (X))
1
χ αres (
1
(Nα)(ν)+1 )
2
−1
= ±1 sgn(2iα res (X))
1
χ αres (
aα res
(Nα)(ν) 2 −1 )
2
= ±1
1
1
1
1
2
= ±1
−1
1
1
χ αres (
1
(Nα)(ν)+1 )
2
= ±1
= ±1
1
1
χ αres (
aα res
(Nα)(ν) 2 −1 )
On peut choisir les a-data et les χ-data de sorte que, pour tout α res ∈ Σ , a αres = i
et χ αres (z) = z/|z|. On vérifie alors que, dans chaque cas, le produit des trois
contributions ci-dessus est C
∞ au voisinage de X = 0. Par exemple, considérons
le cas α de type 2, (N α)(ν η ) = 1 et (N ˆ
α)(s) = 1. L’homomorphisme X → Y
identifie N α à n α α res , où n α est le plus petit entier n ≥ 1 tel que θ
n (α) = α.
Donc sgn(2i(N α)(Y )) = sgn(iα res (X)) et le produit de ces deux termes vaut 1.
Considérons maintenant le cas α de type 2, (N α)(ν η ) = 1 et (N ˆ
α)(s) = ±1. On a
(N α)(ν)
2 = exp(2(N α)(X))(N α)(ν η )
2 = exp(2n α α res (X)) d’où
χ αres
a αres
(N α)(ν) 2 − 1
= i| exp(2n α α res (X)) − 1|(exp(2n α α res (X) − 1)
−1 .
Le produit de cette expression avec sgn(iα res (X)) est C
∞ au voisinage de 0. On
laisse les autres cas au lecteur. Cela achève la preuve.
I.4.14 Un corollaire de la preuve dans le cas réel
Le corps de base est R. On suppose (G, ˜
G, ω) quasi-déployé et à torsion intérieure.
Notons I
st
cusp ( ˜
G(R)) le sous-espace des f ∈ I cusp ( ˜
G(R)) tels que la fonction γ →