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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
I
˜
G (γ, f ) est constante sur les classes de conjugaison stable formées d’éléments
fortement réguliers et elliptiques.
Lemme. L’application naturelle I
st
cusp ( ˜
G(R)) → SI cusp ( ˜
G(R)) est un isomorphisme.
Remarque. Ce lemme vaut aussi sur un corps F non-archimédien mais, dans ce
cas, c’est une conséquence directe de la proposition 4.11. Dans le cas présent où
le corps de base est R, cette proposition ne s’applique qu’à un K-espace. Ici, nous
considérons un seul espace ˜
G.
Preuve. On peut supposer que ˜
G contient un tore tordu maximal elliptique, sinon
les deux espaces sont nuls. Puisque ˜
G est à torsion intérieure, il n’en contient
qu’un à conjugaison près. On en fixe un, que l’on note ˜
T . L’espace I cusp ( ˜
G(R)),
resp. SI cusp ( ˜
G(R)), s’identifie à celui des fonctions ϕ ˜
T définies presque partout
sur ˜
T (R) qui vérifient les conditions (2) et (3) du paragraphe précédent, resp. (5)
et (6) (la condition (4) est triviale en identifiant SI(G) à SI( ˜
G(R))). On voit que
ces deux dernières conditions sont équivalentes à la réunion des deux premières
et de la condition : ϕ ˜
T est constante sur les classes de conjugaison stable formées
d’éléments fortement réguliers et elliptiques. Il en résulte que ϕ ˜
T ∈ SI cusp ( ˜
G(R))
si et seulement si ϕ ˜
T ∈ I
st
cusp ( ˜
G(R)). On n’a pas tout-à-fait fini car l’application
naturelle I
st
cusp ( ˜
G(R)) → SI cusp ( ˜
G(R)) ne se traduit pas par l’identité en termes
de fonctions sur ˜
T (R), mais par l’application ϕ ˜
T → ϕ
G
˜
T
définie par
ϕ
G
˜
T
(δ) =
γ
ϕ ˜
T (γ),
où on somme sur les γ ∈ ˜
T (R) stablement conjugués à δ, à conjugaison près par
G(R). Il reste à voir que le nombre de ces éléments γ ne dépend pas de δ, pourvu
que δ soit fortement régulier. Mais ce nombre est égal au nombre d’éléments de
l’ensemble
T (C)\{g ∈ G(C); ∀σ ∈ Γ R , gσ(g)
−1
∈ T (C)}/G(R).
Cela achève la preuve.
I.4.15 Filtration de l’espace SI( ˜
G(F ))
On suppose (G, ˜
G, ω) quasi-déployé et à torsion intérieure. On a filtré en 4.2 l’espace I( ˜
G(F )). Il y a deux filtrations naturelles sur SI( ˜
G(F )). Pour un entier
n ≥ −1, notons F
n SI( ˜
G(F )) le sous-espace des f ∈ SI( ˜
G(F )) tels que f ˜
M = 0
pour tout espace de Levi ˜
M tel que a ˜
M > n. Ces espaces forment l’une des filtrations. On note GrSI( ˜
G(F )) le gradué associé. On peut d’autre part considérer
l’image de la filtration de I( ˜
G(F )) par la projection naturelle de cet espace sur
SI( ˜
G(F )). Autrement dit, si on note I
inst ( ˜
G(F )) le noyau de cette projection, les
termes de la filtration sont les espaces
(F
n I( ˜
G(F )) + I
inst ( ˜
G(F )))/I
inst ( ˜
G(F )).
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
I
˜
G (γ, f ) est constante sur les classes de conjugaison stable formées d’éléments
fortement réguliers et elliptiques.
Lemme. L’application naturelle I
st
cusp ( ˜
G(R)) → SI cusp ( ˜
G(R)) est un isomorphisme.
Remarque. Ce lemme vaut aussi sur un corps F non-archimédien mais, dans ce
cas, c’est une conséquence directe de la proposition 4.11. Dans le cas présent où
le corps de base est R, cette proposition ne s’applique qu’à un K-espace. Ici, nous
considérons un seul espace ˜
G.
Preuve. On peut supposer que ˜
G contient un tore tordu maximal elliptique, sinon
les deux espaces sont nuls. Puisque ˜
G est à torsion intérieure, il n’en contient
qu’un à conjugaison près. On en fixe un, que l’on note ˜
T . L’espace I cusp ( ˜
G(R)),
resp. SI cusp ( ˜
G(R)), s’identifie à celui des fonctions ϕ ˜
T définies presque partout
sur ˜
T (R) qui vérifient les conditions (2) et (3) du paragraphe précédent, resp. (5)
et (6) (la condition (4) est triviale en identifiant SI(G) à SI( ˜
G(R))). On voit que
ces deux dernières conditions sont équivalentes à la réunion des deux premières
et de la condition : ϕ ˜
T est constante sur les classes de conjugaison stable formées
d’éléments fortement réguliers et elliptiques. Il en résulte que ϕ ˜
T ∈ SI cusp ( ˜
G(R))
si et seulement si ϕ ˜
T ∈ I
st
cusp ( ˜
G(R)). On n’a pas tout-à-fait fini car l’application
naturelle I
st
cusp ( ˜
G(R)) → SI cusp ( ˜
G(R)) ne se traduit pas par l’identité en termes
de fonctions sur ˜
T (R), mais par l’application ϕ ˜
T → ϕ
G
˜
T
définie par
ϕ
G
˜
T
(δ) =
γ
ϕ ˜
T (γ),
où on somme sur les γ ∈ ˜
T (R) stablement conjugués à δ, à conjugaison près par
G(R). Il reste à voir que le nombre de ces éléments γ ne dépend pas de δ, pourvu
que δ soit fortement régulier. Mais ce nombre est égal au nombre d’éléments de
l’ensemble
T (C)\{g ∈ G(C); ∀σ ∈ Γ R , gσ(g)
−1
∈ T (C)}/G(R).
Cela achève la preuve.
I.4.15 Filtration de l’espace SI( ˜
G(F ))
On suppose (G, ˜
G, ω) quasi-déployé et à torsion intérieure. On a filtré en 4.2 l’espace I( ˜
G(F )). Il y a deux filtrations naturelles sur SI( ˜
G(F )). Pour un entier
n ≥ −1, notons F
n SI( ˜
G(F )) le sous-espace des f ∈ SI( ˜
G(F )) tels que f ˜
M = 0
pour tout espace de Levi ˜
M tel que a ˜
M > n. Ces espaces forment l’une des filtrations. On note GrSI( ˜
G(F )) le gradué associé. On peut d’autre part considérer
l’image de la filtration de I( ˜
G(F )) par la projection naturelle de cet espace sur
SI( ˜
G(F )). Autrement dit, si on note I
inst ( ˜
G(F )) le noyau de cette projection, les
termes de la filtration sont les espaces
(F
n I( ˜
G(F )) + I
inst ( ˜
G(F )))/I
inst ( ˜
G(F )).