I.4. Stabilité et image du transfert
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Il est clair que l’espace ci-dessus est inclus dans F
n SI( ˜
G(F )).
Lemme. Pour tout n, on a les égalités :
(F
n I( ˜
G(F )) + I
inst ( ˜
G(F )))/I
inst ( ˜
G(F )) = F
n SI( ˜
G(F ))
et
Gr
n SI( ˜
G(F ) = ⊕ ˜
M∈L n SI cusp ( ˜
M (F ))
W ( ˜
M ) .
Preuve. Notons pour simplifier E
n l’espace de gauche de la première égalité. On
raisonne par récurrence et on suppose prouvé que E
n−1 = F
n−1 SI( ˜
G(F )). Puisque
E
n
⊂ F
n SI( ˜
G(F )), on a alors une injection
(1)
E
n /E
n−1
⊂ Gr
n SI( ˜
G(F )).
Il s’agit de voir qu’elle est surjective. Le premier espace est quotient de
Gr
n I( ˜
G(F )), ou encore, en utilisant le lemme 4.2, de
⊕ ˜
M∈L n I cusp ( ˜
M (F ))
W ( ˜
M ) .
Par définition, l’espace Gr
n SI( ˜
G(F )) s’envoie injectivement dans
⊕ ˜
M∈L n SI cusp ( ˜
M (F ))
W ( ˜
M ) .
L’homomorphisme (1) composé avec cette injection se quotiente en l’homomorphisme naturel
⊕ ˜
M∈L n I cusp ( ˜
M (F ))
W ( ˜
M )
→ ⊕ ˜
M∈L n SI cusp ( ˜
M (F ))
W ( ˜
M ) .
Pour prouver les deux assertions de l’énoncé, il suffit de prouver que ce dernier
est surjectif. Mais c’est un cas particulier de l’assertion 4.12(3) dans le cas nonarchimédien et c’est le lemme 4.14 dans le cas réel (le cas complexe est trivial).
Comme toujours, il y a une variante de ce résultat quand on considère des
extensions centrales comme à la fin du paragraphe 4.8.
I.4.16 Un corollaire
On suppose encore (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit ( ˜
M j ) j=1,...,k
une famille finie d’espaces de Levi de ˜
G. Considérons l’application linéaire
res = ⊕ j=1,...,k res ˜
Mj : I( ˜
G(F )) → ⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (F )).
Corollaire. On a l’égalité
res(I( ˜
G(F ))) ∩
⊕ j=1,...,k I
inst ( ˜
M j (F ))
= res(I
inst ( ˜
G(F ))).