108
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Preuve. Posons
I = ⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (F )), I
inst = ⊕ j=1,...,k I
inst ( ˜
M j (F ))
et, pour tout n ∈ N, F
n I = ⊕ j=1,...,k F
n I( ˜
M j (F )). On va prouver que, pour tout
n ∈ N,
(1) res(F
n I( ˜
G(F ))) ∩ I
inst
⊂ res(I
inst ( ˜
G(F ))) + (res(F
n−1 I( ˜
G(F ))) ∩ I
inst ).
Posons F
n I
inst ( ˜
G(F )) = I
inst ( ˜
G(F )) ∩ F
n I( ˜
G(F )). On note GrI
inst ( ˜
G(F )) le
gradué associé à cette filtration. En conséquence du lemme 4.15, la suite
0 → Gr
n I
inst ( ˜
G(F )) → Gr
n I( ˜
G(F )) → Gr
n SI( ˜
G(F )) → 0
est exacte.
Donc Gr
n I
inst ( ˜
G(F )) est l’espace des (f
˜
L ) ˜
L∈L n ∈ ⊕ ˜
L∈L n I cusp ( ˜
L(F ))
W ( ˜
L)
tels que les images de f
˜
L dans SI cusp ( ˜
L(F )) soient nulles pour tout ˜
L.
Soit f ∈ F
n I( ˜
G(F )) tel que res(f ) ∈ I
inst . Soit (f
˜
L ) ˜
L∈L n son image dans
⊕ ˜
L∈L n I cusp ( ˜
L(F ))
W ( ˜
L) . Notons L
n
l’ensemble des ˜
L ∈ L
n qui sont conjugués par
G(F ) à un espace inclus dans l’un des ˜
M j . L’hypothèse res(f ) ∈ I
inst entraîne que,
si ˜
L ∈ L
n
, l’image de f
˜
L dans SI cusp ( ˜
L(F )) est nulle. Par le résultat précédent,
on peut trouver f 0 ∈ F
n I
inst ( ˜
G(F )) dont l’image (f
˜
L
0 ) ˜
L∈L n dans le gradué vérifie
f
˜
L
0 = f
˜
L si ˜
L ∈ L
n
, f
˜
L
0 = 0 sinon. Alors, pour tout j = 1, . . . , k, l’image de
res ˜
Mj (f − f 0 ) dans Gr
n I( ˜
M j (F )) est nulle. Autrement dit res(f − f 0 ) ∈ F
n−1 I.
D’après la preuve du lemme 4.3, res(I( ˜
G(F ))) ∩ F
n−1 I = res(F
n−1 I( ˜
G(F ))).
Il existe donc f
∈ F
n−1 I( ˜
G(F )) tel que res(f − f 0 − f
) = 0. On a encore
res(f
) ∈ I
inst . L’égalité res(f ) = res(f 0 ) + res(f
) montre que res(f ) appartient
au membre de droite de (1). Cela prouve cette relation.
Par récurrence sur n, (1) implique que le membre de gauche de l’énoncé est
inclus dans celui de droite. L’inclusion opposée étant évidente, cela démontre le
corollaire.
I.4.17 Produit scalaire
Dans ce paragraphe, on suppose ω unitaire. On munit G(F ) d’une mesure de Haar.
On doit aussi munir A ˜
G (F ) d’une telle mesure. Par souci de cohérence avec [81],
on procède ainsi. On munit l’espace vectoriel réel A ˜
G d’une mesure de Haar. On
dispose de l’homomorphisme habituel
H A ˜
G
: A ˜
G (F ) → A ˜
G .
Pour a ∈ A ˜
G (F ) et x
∗
∈ X
∗ (A ˜
G ), on a |x
∗ (a)| F = e
x
∗ ,HA ˜
G
(a)
. Notons A ˜
G (F )
c
le noyau de H A ˜
G
. C’est le sous-groupe compact maximal de A ˜
G (F ). Si F est
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Preuve. Posons
I = ⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (F )), I
inst = ⊕ j=1,...,k I
inst ( ˜
M j (F ))
et, pour tout n ∈ N, F
n I = ⊕ j=1,...,k F
n I( ˜
M j (F )). On va prouver que, pour tout
n ∈ N,
(1) res(F
n I( ˜
G(F ))) ∩ I
inst
⊂ res(I
inst ( ˜
G(F ))) + (res(F
n−1 I( ˜
G(F ))) ∩ I
inst ).
Posons F
n I
inst ( ˜
G(F )) = I
inst ( ˜
G(F )) ∩ F
n I( ˜
G(F )). On note GrI
inst ( ˜
G(F )) le
gradué associé à cette filtration. En conséquence du lemme 4.15, la suite
0 → Gr
n I
inst ( ˜
G(F )) → Gr
n I( ˜
G(F )) → Gr
n SI( ˜
G(F )) → 0
est exacte.
Donc Gr
n I
inst ( ˜
G(F )) est l’espace des (f
˜
L ) ˜
L∈L n ∈ ⊕ ˜
L∈L n I cusp ( ˜
L(F ))
W ( ˜
L)
tels que les images de f
˜
L dans SI cusp ( ˜
L(F )) soient nulles pour tout ˜
L.
Soit f ∈ F
n I( ˜
G(F )) tel que res(f ) ∈ I
inst . Soit (f
˜
L ) ˜
L∈L n son image dans
⊕ ˜
L∈L n I cusp ( ˜
L(F ))
W ( ˜
L) . Notons L
n
l’ensemble des ˜
L ∈ L
n qui sont conjugués par
G(F ) à un espace inclus dans l’un des ˜
M j . L’hypothèse res(f ) ∈ I
inst entraîne que,
si ˜
L ∈ L
n
, l’image de f
˜
L dans SI cusp ( ˜
L(F )) est nulle. Par le résultat précédent,
on peut trouver f 0 ∈ F
n I
inst ( ˜
G(F )) dont l’image (f
˜
L
0 ) ˜
L∈L n dans le gradué vérifie
f
˜
L
0 = f
˜
L si ˜
L ∈ L
n
, f
˜
L
0 = 0 sinon. Alors, pour tout j = 1, . . . , k, l’image de
res ˜
Mj (f − f 0 ) dans Gr
n I( ˜
M j (F )) est nulle. Autrement dit res(f − f 0 ) ∈ F
n−1 I.
D’après la preuve du lemme 4.3, res(I( ˜
G(F ))) ∩ F
n−1 I = res(F
n−1 I( ˜
G(F ))).
Il existe donc f
∈ F
n−1 I( ˜
G(F )) tel que res(f − f 0 − f
) = 0. On a encore
res(f
) ∈ I
inst . L’égalité res(f ) = res(f 0 ) + res(f
) montre que res(f ) appartient
au membre de droite de (1). Cela prouve cette relation.
Par récurrence sur n, (1) implique que le membre de gauche de l’énoncé est
inclus dans celui de droite. L’inclusion opposée étant évidente, cela démontre le
corollaire.
I.4.17 Produit scalaire
Dans ce paragraphe, on suppose ω unitaire. On munit G(F ) d’une mesure de Haar.
On doit aussi munir A ˜
G (F ) d’une telle mesure. Par souci de cohérence avec [81],
on procède ainsi. On munit l’espace vectoriel réel A ˜
G d’une mesure de Haar. On
dispose de l’homomorphisme habituel
H A ˜
G
: A ˜
G (F ) → A ˜
G .
Pour a ∈ A ˜
G (F ) et x
∗
∈ X
∗ (A ˜
G ), on a |x
∗ (a)| F = e
x
∗ ,HA ˜
G
(a)
. Notons A ˜
G (F )
c
le noyau de H A ˜
G
. C’est le sous-groupe compact maximal de A ˜
G (F ). Si F est